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1、第七章 常微分方程初步第一节 常微分方程引例1（曲线方程）：已知曲线上任意一点M（x,y）处切线的斜率等于该点横坐标4倍，且过（ -1 ，3）点，求此曲线方程解：设曲线方程为y = y （x），则曲线上任意一点M（x,y ）处切线的斜率为dydx 根据题意有dy=4 x 0) dtx (t ) = x00 这是一个带有初始条件的一阶微分方程。 引例2(招生情况)：某校1995年招生人数为 5000人，如果该校能保持每年3%的相对增长 率，问到 2010 年的招生情况如何？解：设第t年该校招生为y (t)，t=0时代表1995年，从1995年起，y (t)相对增长率保持 为 3%，即dtdy (
2、t)3%y(t)y(0) = 5000这是一个带有初始条件的一阶微分方程。引例3(死亡时间鉴定问题)：设温度为T0的物体放置在温度为工(t 0)依赖于所给物质的性质。当一起谋杀案发生后，警察中午 12：00到达现场。依据法医测得 尸体温度为30C,室温20C。已知尸体从37C经两小时后变为35C,试推算下谋杀是什么 时间发生的？解：建立微分方程：设t从谋杀后计，t时刻尸体温度为Q (t)。由题物体冷却速度如血与温差H - 20成正 dt则dQ (t)dt=-k (Q - 20)Q (0) = 37(常数k 0，负号表示温度是减少的，即如心 0)有关，负号表示阻力与v(t)方向相反。则所受合力F
3、 =mg 一 kv由牛顿第二定律F = ma及加速度a =空得dtdvm = mg 一 kvdt初始条件为v|= 0t=0定义描述形如dy=f (x) g (y) dx的微分方程，称为可分离变量的微分方程。可分离变量微分方程的特点是：等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个是只含有x的 函数，另一个是只含有 y 的函数。可分离变量的微分方程通过分离变量为dy=f (x)dx,(g (y)工 0) g(y)对上式两边积分得J= I f (x) dxg(y)上式左端对y求积分，右端对x求积分，即可得到方程的解。把这种求解过程称为分离变量法，求解步骤：第一步，分离变量；第二步，两边分别积分回应任务引
4、例 1求解解：(1)建立了 Malthus 人口模型7.2.1)7.2.2)dx =rx (r 0) 0ln x = rt + c即通解为x = e r+c = ce rt(7.2.3)(3)求特解将 x(t ) = x 代入式(7.2.3)，即x = ce 0 = c0 0 0故特解为 x = x e rt0引例 2 求解解：（1）建立微分方程dy (t)dty (t)3%7.2.4)y(0) = 50002）求通解式（7.2.4）分离变量得7.2.5)空3 = 3% dt式（7.2.5）两边同时积分，得In y(t) = 3%t + c7.2.6)即通解为y (t) = 5000 e3%t
5、(3)求特解将 y (0) = 5000 代入式(7.2.6 ),即5000 = ce 0 = c故特解为 y(t) = 5000 e3%t将 t = 2010 1995 = 15 代入 y (t) = 5000 e3%5引例 3求解解：（ 1 ）建立微分方程dQ (t) dt= k(Q 20)7.2.7)Q(0)=372）求通解对式（ 7.2.7）分离变量得dQQ 20= kdt7.2.8)对式（7.2.8）两边积分得ln( Q 一 20) = kt + c得通解Q 一 20 = ce -k7.2.9)（3）求特解将初始条件Q（0） = 37代入（729），得c = 17 故特解为Q = 1
6、7 e -k + 20（ 4 ）实际问题求解根据已知条件 Q （2） = 35 代入35 = 17 e-k-2 + 20 得 k 0.063故t时刻尸体温度为Q（t） = 17 e - 0 .063 t + 20题目已知法医检验当时温度，即Q （t） = 30，即17 e -o.631 + 20 = 30得t = 8 .4即经过了 8小时 24分，故谋杀发生在3 点 36分引例 4 求解解：（ 1 ）建立微分方程dvm = mg 一 kv dtv|= 0t = 07.2.10)（ 2 ）求通解对式（ 7.2.10）分离变量dv7.2.11)mg - kv对式（ 7.2.11）两边积分1-ln(
7、 mg - kv ) kmg+ ce4-tmgk3）求特解将初始条件v=0代入通解得ct = 0故特解为mgmgemg(1 - emgt新的案例分析案例 1（曲线方程）设一曲线上任意一点切线垂直于该点与原点的连线，求此曲线方程。案例2 （冷却问题）将一个温度为80C的物体放在20C的恒温环境中冷却，已知物体冷却 速度与温差成正比，求该物体温度变化规律。案例3 （混合问题）：容器内有清水100 l，今以3 l /min的速度从一管放进纯净水，以21 /min的速度从另一管抽出盐水，设容器内盐水浓度始终是均匀的，求容器内含盐量随时 间变化的规律。案例 4（时间推算）当一起谋杀案发生之后，警察上午 10： 00 到达现场，法医测得测得尸体温度为 30度，室温20度，已知尸体在最初2小时降低2度，谋杀是什么时间发生的？案例 5（衰变规律）求放射性元素质量衰变规律（已知衰变速度与它现存量成正比）第三节 一阶线性微分方程的解法dL引例1 （利润函数）已知某产品利润L与广告支出x的函数关系为dL = 2 - x - L dx 当x = 0时，L = 5求该产品的利润函数。dL解：题目已知dL = 2 - x - LdxdL可以写成dL + L = 2 - x
