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1、目录数列上下极限的不同定义方式及相关性质摘要01一、数列的上极限、下极限的定义011. 用“数列的聚点”来定义012. 用“数列的确界”来定义023. 数列上、下极限定义的等价性02二、数列的上、下极限的性质及定理04参考文献14英文摘要.15数列上下极限的不同定义方式及相关性质摘 要：数列的上、下极限的概念是极限概念的延伸，由于它们在正项级数敛散性的判别法 中的重要作用，又成为数学分析中重要的理论部分.本文主要讨论了数列的上下极限的两种 定义方式及其等价证明和一些相关定理.关键词：数列、上极限、下极限、聚点、函数一、数列的上极限、下极限的定义关于数列的上极限、下极限的定义常见的有如下两种形式
2、：1.用“数列的聚点”来定义定义1若在数a的任一邻域内都含有数列% 的无限多项，则称为数列 nx 的一个聚点.n例1数列(-1)二有聚点-1与1；n +1数列sin巴有-1,-U,0, U和1五个聚点；422数列!只有一个聚点0 ；n常数列1,1,.,1,.只有一个聚点1.定义2有界数列电的最大聚点a大与最小聚点a小分别称为数列电的上极限和下极限，记作例 2 lim(-1)nn+8=-1nslim sin =1 ,limsin 4n+8凡8lim L = lim = 0n +8 n2.用“数列的确界”来定义定义3任给数列x ，定义nlim x = lim supx ; lim x = limi
3、nf x nkn、 kn+sns k nnsns k n分别称为数列x 的上极限和下极限.n(1)若定义1中的a可允许是非正常点+8或-s，则：任一点列x 至少有一个n聚点，且存在最大聚点与最小聚点.不难证明：正上（下）界点列的最大（小）聚点为+8（f）.于是，无上（下）界点列有非正常上（下）极限+8（f）.例 3 lim(1)n + 1)n = +8 , lim(-1)nn = -s ,lim(-1)nn = -sn +sn +s3.数列上、下极限定义的等价性下面我们来证明一下数列上、下极限定义的等价性，即a = lim x = limsup x ；大 n-+8 n n-8 k n ka =
4、 lim x = liminf x .小 ns n ns k n k证明：如果limsupx = +s，由于supx 关于n单调递减，所以 ns k n kk nsup x = +s，Vn N .于是，可取 n eN(自然数)s.t x 1,又可取 neN,k nn1% ns.t x 2,.,所以，得到数列x 的子列x L+s(k +s).这就证明n2了 +s为数列的聚点且为最大聚点a大.由此可得nka = lim x = +s = lim supx ;大 n +s 凡n s k n 化如果 limsupx n kn * k n k设a数列xJ的任一聚点，则必有xJ的子列，x . a (i +
5、s). Vn e N,当， n时,n i n,有X na = lim x n ka n k所以，数列x 的最大聚点满足nlim x n k另一方面，Vy lim xn,易见，y,+s）中最多含有数列xj中的有限多项.因此，BN eN,当k N时，有Xk N时，supx n由此可得推出令 y-Gm x )n n+slimsup x n klim supx n k nT+8 n综合上述，有a谿=lim x = lim supx .n-+8 n n* kn k类似 的可证明或应用上式于-x 可证得na = lim x = liminf x .小nknsnS kn如果 lim infx = -s，由于
6、infx 关于n单调递减，所以infx = -s，kkkn-s k nknkn对Vn N .于是，可取自然数气使得x n使得 1n12 2 1Tn如果 lim inf x -s，则 lim inf x = +s 或实数.n-s kn设a数列x 的任一聚点nkkn-s k n则必有xj的子列， x a (i +s).任意的 n是自然数当， n时,n i n,有x inf x nk n ka = lim x inf x i s ni k n ka lim inf x n+s kn k所以，数列x 的最小聚点满足nlim x lim inf x .nT3 n nT+8 kn k另一方面，对任意的y
7、limx易见，（-8, j中最多含有数列x 中的有限nnns多项.因此，存在N是自然数当k N时，有xk j，从而，当n N时，有inf x j，k n k由此可得lim inf x j.nT+8 kn k推出nnT3lim inf x lim x .nT+8 kn knnT3综合上述，有a = lim x = lim inf x .小nkn*1+3 kn下面进一步给出和数列上，下极限定义有关的性质及定理.二、数列的上、下极限的性质及定理设有数列气与数列jn，则数列的上、下极限有以下性质性质 1lim x limx ；（2）nT+3 n n T3 n性质 2 lim x = A。lim x =
8、 lim x = An +3 nnr+3 n nT3 n例4用上下极限理论证明：若xj是有界发散数列，则存在xj的两个子列收敛于两个不同的极限.证明：因为数列发散的充要条件是lim气。lim气，于是存在xj的两个子 nT+3 nn3 nn列x , x ，使 lim x = lim x，lim x = limx，即存在x 的两个子列收 n nn+3 nk n+3 n n+3 % 二敛于不同的极限.性质3 （保不等式性质）设有界数列x ，j 满足:nn存在N0 0,当n N0时有x y，则lim x lim y ;n+sn+slim x 0，当n N0时有a an P，则a lim a lim a
9、 0,y 0,(n = 1,2,.)，则lim x - lim y lim x y lim x - lim ynnn nnnn Tsn Tsn Tsn Tsn T+s(3)(4)lim x - lim y lim x y 0)nnnn nn T+sn T+sn T+s证明：分三种情况讨论1、若lim y 0，则y 中有无穷多项大于零，作新序列 n T+snyn + - max y ,0= 0时|0,当y 0，n n T+sn n T+s对x y +应用(4)有lim x - lim y + n T+s n lim x y + 0)n nn nnn T+sn+8所以lim x y = lim x
10、 lim yn +8n+8n +82、若 lim y = -s，在限制条件下，lim x 0，因此n充分大时有n T+sn T+sx 0，这时等式明显成立.3、若-8 lim七0，使得 n +8lim(y + C) 0，n+8如此应用1、的结果，lim x (y + C) = lim x - lim (y + C)nnnnn +8n +8n +8再根据(3)，此即lim x y + lim x - C = lim x - lim y + lim x - C nnnnnn+8n +8n +8n+8n n +8从而lim x y = lim x - lim y，证毕.nnnnn +8n+8n +8，性质5在不发生(8) + (不8)情况下，有如下不等式成立:1、lim x + lim y lim (x + y ) lim x + limn 、一 n 、一 n n 、一 n n8 n +8n
