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1、矩阵秩的一些著名结论（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑 完整版实用资料，欢迎下载）引言矩阵的秩是高等代数中一个应用及其广泛的理论，有关矩阵的秩的等式或不等式的证明，常常和向量组的秩，线性方程组的解等密切相关，推证有难度也有技巧。熟练掌握关于矩阵秩的一些结论及其证明技巧，对有关理论的学习会有很大的裨益。矩阵中的最大阶不为零的子式的阶数就称为矩阵的秩，记为r(A.一些平凡的理论及概念读者可参阅一些权威教材,这里只对一些经典的理论做一讨论.1. 证明: 设为两个同阶矩阵,则有r(ABr(Ar(B证 设=, =则 +=+,+,+不妨设列向量的极大线性无关组为,. (1rn；列向量的极大线性无关组
2、为，. (1sn.则+;=+;则 += +;即+的列向量可由,，线性表出，故.2. 若=,则.证 记 ，由=，知的每一列都是解,即,=1,2,又因的基础解系所含向量个数为,换言之, 的所有解所构成的向量组的秩为.故,即.3.若， 证明+=n.证 , ,=,由结论2知r+r; 再由结论1知 ，+ ,综上所述, +=n.4 若证明： +.证 ,由结论2知 +.又因 知，即 +.综上所述，+.5.矩阵 ,证明：+-.证 设=,=,=则存在可逆矩阵,使=. 及 =. 故= =.则=.因=则中还有个线性无关行向量,故则,即+-.6.设为的伴随矩阵，则伴随矩阵的秩为： =证 若=时,即可逆,因，则有,故.
3、若时, =,由结论2知+，即 =1.也就是=0,或 =. 假设=0,则的所有阶子式为0, 这与=矛盾.故=.若当时，则的所有阶子式全为0，则,即=0.故上述结论 = 成立。7.（秩的降阶定理）设,若是阶可逆矩阵，则. 若是阶可逆矩阵，则若都可逆，则.证 若是阶可逆矩阵，则存在.对矩阵两边做初等变换,即有.初等变换不改变矩阵的秩,故 .若可逆,则存在,对两边做初等变换,.初等变换不改变矩阵的秩,故 .若都可逆,则根据,的结论有:，整理可得，.参考文献【1】 张禾瑞,郝鈵新.高等代数.第五版.北京:高等教育出版社,2007.【2】 王萼芳,石生明.高等代数.第三版.北京:高等教育出版社,2003.
4、【3】 徐 仲,陆 全等.高等代数(北大.第三版导教导学导考.西安:西安工业大学出版社,2006.求逆矩阵的方法与矩阵的秩 一、矩阵的初等行变换 （由定理2.4给出的求逆矩阵的伴随矩阵法，要求计算矩阵A的行列式值和它的伴随矩阵.当A的阶数较高时，它的计算量是很大的，因此用伴随矩阵法求逆矩阵是不方便的.下面介绍利用矩阵初等行变换求逆矩阵的方法.在介绍这种方法之前，先给出矩阵初等行变换的定义.） 定义2.13 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换： (1) 将矩阵中某两行对换位置； (2) 将某一行遍乘一个非零常数k； (3) 将矩阵的某一行遍乘一个常数k加至另一行.并称(1)为对换变换，称
5、(2)为倍乘变换，称(3)为倍加变换. 矩阵A经过初等行变换后变为B，用ABij表示，并称矩阵B与A是等价的.iji （下面我们把）第行和第j行的对换变换，简记为“ ， ”；把第行遍乘k倍的倍乘变换，简记为“ k”；第j行的k倍加至第行上的倍加变换，简记为“ + k”. ， 例如，矩阵 A = k +k （关于初等矩阵内容请大家自己阅读教材） 二、运用初等行变换求逆矩阵 由定理2.7的推论“任何非奇异矩阵均能经过初等行变换化为单位阵”可知，对于任意一个n阶可逆矩阵A，经过一系列的初等行变换可以化为单位阵I，那么用一系列同样的初等行变换作用到单位阵I上，就可以把I化成.因此，我们得到用初等行变换
6、求逆矩阵的方法：在矩阵A的右边写上一个同阶的单位矩阵I，构成一个n2n矩阵 ( A , I )，用初等行变换将左半部分的A化成单位矩阵I，与此同时，右半部分的I就被化成了.即( A , I )( I , ) 例1 设矩阵 A = 求逆矩阵 . 解 因为+(-1)+(-2)A , I = +(-1)+(-1) + (1/2)+ 所以 = 所求逆矩阵是否正确，可以通过计算乘积矩阵A进行验证.如果A=I成立，则正确，否则不正确. 对给定的n阶矩阵A，用上述方法也可以判断A是否可逆.即在对矩阵 A , I 进行初等行变换的过程中，如果 A , I 中的左边的方阵出现零行，说明矩阵A是奇异的，即，可以判
7、定A不可逆；如果 A , I 中的左边的方阵被化成了单位阵I，说明A是非奇异的，可以判定A是可逆的，而且这个单位矩阵I右边的方阵就是A的逆矩阵，它是由单位矩阵I经过同样的初等行变换得到的. 例2 设矩阵 A = ，问A是否可逆？ 解 因为 A , I = A , I 中的左边的矩阵A经过初等行变换后出现零行，所以矩阵A是奇异的，A不可逆. （下面利用矩阵求逆运算求解矩阵方程.） 例3 解矩阵方程AX = B，其中 A =，B = 解 思路 如果矩阵A可逆，则在矩阵方程AX = B等号的两边同时左乘，可得AX = B， X = B 因此，先用初等行变换法判别A是否可逆，若可逆，则求出，然后计算B
8、，求出X . 因为 A , I = 所以 A可逆，且 = X = B = = 三、矩阵的秩 前面给出了利用矩阵行列式判别方阵A是否可逆的方法，除了这种方法外，还可以利用矩阵A的特征之一矩阵的秩来判别方阵A的可逆性. 矩阵的秩是线性代数中非常有用的一个概念，它不仅与讨论可逆矩阵的问题有密切关系，而且在讨论线性方程组的解的情况中也有重要应用. 在给出矩阵的秩的概念之前，先要定义矩阵的子式. 定义2.15 在矩阵A中，位于任意选定的k行、k列交叉点上的个元素，按原来次序组成的k阶子阵的行列式，称为A的一个k阶子式.如果子式的值不为零.就称为非零子式. 例4 设矩阵 A=取其第一、二行与第二、四列交叉
9、点上的4个元素按原次序组成行列式 称为A的一个二阶子式，而且是它的非零子式. 定义2.16 矩阵A的非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩，记作或秩(A ) . 规定：零矩阵O的秩为零，即= 0. 例4中的矩阵已经有一个二阶非零子式，通过计算可知，矩阵A的所有三阶子式均为零，（该矩阵没有四阶子式），所以 = 2 . 例5 设A为n阶非奇异矩阵，求. 解 由于A为非奇异矩阵，即A对应的行列式，所以A有n阶非零子式，故 = n . 例5的逆命题亦成立，即对一个n阶方阵A，若= n，则A必为非奇异的. 因此n阶方阵A为非奇异的等价于= n. 称= n的n阶方阵为满秩矩阵. 用定义求矩阵的秩，需要计算它的子
10、式，计算量常常是较大的.利用教材中的定理2.10计算矩阵的秩是比较方便的. 定理2.10 设A为矩阵，则= k的充分必要条件为：通过初等行变换能将A化为具有k个非零行的阶梯阵. 例如，阶梯阵A =， B =因为A的非零行有二行，而B 的非零行有三行，所以A的秩等于2，B 的秩等于3，即= 2，= 3. 那么一个矩阵经过初等行变换化成阶梯阵后，它的秩是否会发生变化呢？不会的.教材中的定理2.9已经说明这一点. 定理2.9 矩阵经过初等行变换后，其秩不变. （证明见教材） 定理2.10给了我们求矩阵的秩的一种简便方法，即利用初等行变换将一个矩阵A化成阶梯阵，然后算出矩阵A的秩. 例6 设矩阵A =
11、， B = 求，. 解 因为 A = 所以 = 2 因为 B = 所以 = 3 因为 AB = = AB = 所以 = 2 由例6可知，乘积矩阵AB的秩不大于两个相乘的矩阵A , B的秩，即 . 例7 设矩阵 A =求和. 解 因为 A = 所以 =3同理可得 =3 由例7可知，矩阵A与它的转置矩阵的秩相等. 可以证明例6，例7的结论具有一般性. 定理2.11 设A为mn矩阵，则 (1) ； (2) = 宝鸡文理学院本科学年论文论文题目： 矩阵秩及其应用 学生姓名：李 前学生学号： 202190014 专业名称： 数学与应用数学 指导老师：杨建宏数学系2021年11月28日目录【摘要】 . 1 【关键字】 . 1 一、矩阵的秩的有关概念 . 1 二、矩阵中的相关定理及命题 . 2 三、矩阵的秩的两种计算方法及其优劣比较 . 4 四、矩阵运算中矩阵的秩的关系 . 6 五、矩阵秩的应用 . 10 【参考文献】 .
