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1、探究在地球自转和空气阻力影响下的抛体运动规律福建师大物理与光电信息科技学院 物理学专业学号106012008023 叶峰云 指导老师：陈翔联系方式：18950499473邮箱： 【摘要】本文指出了抛体运动传统研究方法的局限性,提出借助MATLAB技术较全面地数值研究了地球自转和空气阻力对抛体运动的影响，并对结果进行分析。与其他文献不同的是，本文考虑了惯性离心力对抛体运动的作用。【关键词】抛体运动 地球自转 惯性离心力 空气阻力 MATLAB 1 引言在日常工作和生活中，抛体运动随处可见，如各种球类运动、铁饼、标枪、中远程炮弹以及飞机空投物资等等。我们可以根据中学阶段学习过的知识，在理想条件下得
2、出抛体运动的一般规律，但若要真正应用到现实条件中，需要考虑各种现实条件，精确地探究出抛体运动的规律。研究抛体运动，不但具有理论意义，更具有实践意义，例如可以对各种球类运动、飞机空投物资以及军事上射击瞄准和弹道研究，进行必要的修正和指导。1在现实环境中，抛体运动受到的影响主要来源于两方面：一是地球自转、地理位置等的影响；二是运动过程中空气阻力的影响。其中地球自转一般能产生两个力的作用：惯性离心力和科里奥利力。目前已有很多文献对抛体运动进行了研究，文献2- 4研究了地球自转对抛体运动的影响；文献5讨论了考虑空气阻力和地球自转作用下抛体运动规律。以上文献的一个共同特点是：均使用传统的数学解析方法，运
3、动微分方程的求解过程繁杂，并采用常用的近似法进行分析处理，这对抛体运动进行近似分析是可行的，但不能得到相对高精度的运算结果。文献6用数值计算的方法研究地球自转对抛体运动的影响；文献7用数值计算的方法讨论了考虑空气阻力和地球自转作用下抛体运动规律。但几乎所有研究地球自转对抛体运动的影响的文献都忽略了惯性离心力的作用，认为惯性离心力的大小与地球自转角速度的平方成正比，其值自然比较小而把它的作用忽略不计。为了能够更为精确、直观地得出结果并突出惯性离心力的作用，我们分别探究了忽略惯性离心力和考虑惯性离心力两种条件下的抛体运动规律，采取了借助数学软件MATLAB，利用数值计算的方法，分析地球自转对抛体运
4、动产生的影响。2物理模型和动力学方程的建立81以北半球纬度为a的某点为坐标原点,在地球上建立如图1所示直角坐标系，轴沿地面水平向南，轴沿地面水平向东，轴垂直地面指向天顶。观察抛体运动时，质点受到的真实力有空气阻力，在抛体初速度不大的情况下，我们假设其与质量和速度成正比，即（为常数）和地球的引力 ，受到的惯性力有科里奥利力 ，(在北半球纬度=a0, 在南半球纬度0)以及惯性离心力，由于，则若忽略惯性离心力的作用，则动力学方程为： （1）改写成坐标分量式，可得耦合的微分方程组： (2)若考虑惯性离心力的作用，则动力学方程为： （3）改写成坐标分量式，可得耦合的微分方程组： (4)初始条件（时）可表
5、示为：（2）、（4）式是二阶线性微分方程组,解析求解过程比较繁琐,可以将其变换为一阶线性微分方程组,然后利用MATLAB软件进行数值求解。3编写函数文件和主程序令:;将 (2)式变换为一阶微分方程组:将 (4)式变换为一阶微分方程组:因非惯性系中的抛体存在偏离，轨道并不始终在同一纬度上空， 上式中的a并不能视为常量仅对积分。但经过计算得知纬度1度对应的经线长度约为111180米，每米的偏离还不到0.00001度。由此可知，即使运动过程中有数米的偏离，所引起的纬度变化仍微不足道1。故在有限的偏离下把a视为常数不会影响到我们对精度的要求。利用上方程编制函数文件znxpfun.m和主程序znxp.m
6、见附录。4 主程序的运行与分析、比较和讨论4.1 同一纬度处，忽略空气阻力的抛体运动主程序的运行图像和结果如下（以下图像的坐标和表格中的数据采取国际单位制）：图1 忽略空气阻力条件下，考虑地球自转和不考虑地球自转的抛体运动轨迹：表 1 同一纬度处忽略空气阻力的条件下，考虑地球自转（忽略惯性离心力）和不考虑地球自转时的抛体运动：a=60，k=0差值Z(射高)45.918445.92010.0017T(到达最高点所需时间)3.06123.06130.0001Y(射程)30.600030.5864-0.0136X(南偏距离)00.01180.0118表 2 同一纬度处忽略空气阻力的条件下，考虑地球自
7、转（考虑惯性离心力）和不考虑地球自转时的抛体运动：a=60，k=0差值Z(射高)45.918445.95960.0412T(到达最高点所需时间)3.06123.06400.0028Y(射程)30.600030.5863-0.0137X(南偏距离)00.28500.28504.2 同一纬度处，考虑空气阻力的抛体运动在主程序中，令k=0.01,运行的图像和结果如下：图2 有空气阻力条件下，考虑地球自转和不考虑地球自转条件下的抛体运动轨迹：表 3 同一纬度处有空气阻力的条件下，考虑地球自转（忽略惯性离心力）和不考虑地球自转时的抛体运动：a=60，k=0.01差值Z(射高)45.0023 45.003
8、90.0016T(到达最高点所需时间)3.0153 3.01540.0001Y(射程)29.6825 29.6696-0.0129X(南偏距离)0 0.01130.0113表 4 同一纬度处有空气阻力的条件下，考虑地球自转（考虑惯性离心力）和不考虑地球自转时的抛体运动： a=60，k=0.01差值Z(射高)45.0023 45.04180.0395T(到达最高点所需时间)3.0153 3.01800.0027Y(射程)29.6825 29.6695-0.013X(南偏距离)0 0.27910.2791将表1和表3、表2和表4中的数据提取出来，按同一纬度处考虑地球自转和不考虑地球自转，对数据重新
9、组合，得到如下的表5和表6、表5和表7：表5 在同一纬度处忽略地球自转条件下，考虑空气阻力和不考虑空气阻力时的抛体运动：a=60，k=0k=0.01差值Z(射高)45.918445.0023 -0.9161T(到达最高点所需时间)3.06123.0153 -0.0459Y(射程)30.600029.6825 -0.9175X(南偏距离)00 0表6 在同一纬度处考虑地球（忽略惯性离心力）自转条件下，忽略空气阻力和有空气阻力时的抛体运动a=60，k=0k=0.01差值Z(射高)45.920145.0039-0.9162T(到达最高点所需时间)3.06133.0154-0.0459Y(射程)30.
10、586429.6696-0.9168X(南偏距离)0.01180.0113-0.0005表7 在同一纬度处考虑地球自转条件（考虑惯性离心力）下，忽略空气阻力和有空气阻力时的抛体运动a=60,k=0k=0.01差值Z(射高)45.959645.0418-0.9178T(到达最高点所需时间)3.06403.0180-0.046Y(射程)30.586329.6695-0.9168X(南偏距离)0.28500.2791-0.0059分析：由表1、表3或表2、表4的“差值”列数据可知，在只分析地球自转作用（k=0.01或k=0）的条件下， 和相比， 可以看出地球自转使抛体运动的T(到达最高点所需时间)、
11、Z(射高)和X(南偏距离)增大，但使Y(射程)减小，落地点发生了南偏，时在X方向没有偏转；由表5、表6或表7的“差值”列数据可知，在只分析空气阻力作用（或）的条件下，k=0.01和k=0相比，可以看出空气阻力使抛体运动的Z(射高)、T(到达最高点所需时间)、Y(射程)和X(南偏距离)均减小。通过对表1与表2或表3与表4的比较可以初步得知，惯性离心力对抛体运动的T(到达最高点所需时间)、Z(射高)和X(南偏距离)的影响很大，考虑它与否得出的结果相差一个数量级，而惯性离心力对Y(射程)的影响很小，可以予以忽略。4.3 不同纬度处，忽略空气阻力的抛体运动规律在主程序中,令k=0和k=0.01,a分别
12、取0、15、30、45、75和90,(a=60的情况见上文），运行的结果如下：表8不同纬度处忽略空气阻力条件下，考虑地球自转（忽略惯性离心力）和不考虑地球自转时的抛体运动规律k=0,k=0,a01530456075900至90Z45.921845.921745.921345.920845.920145.919245.918445.9184T3.06153.06143.06143.06143.06133.06133.06123.0612Y30.572730.573730.576430.580730.586430.592930.600030.6000X00.00350.00680.00960.01
13、180.01320.01360表9不同纬度处忽略空气阻力条件下，考虑地球自转（考虑惯性离心力）和不考虑地球自转时的抛体运动规律:k=0,k=0,a01530456075900至90Z46.080246.069446.040045.999945.959645.929845.918445.9184T3.07203.07133.06933.06673.06403.06203.06123.0612Y30.572530.573530.576230.580630.586330.592930.600030.6000X00.16130.28000.32510.28500.17090.01360表10不同纬度处考虑空气阻力条件下，考虑地球自转（忽略惯性离心力）和不考虑地球自转时的抛体运动规律k=0.01,k=0.01,a01530456075900至90Z45.005545.005445.005145.004545.003945.003145.002345.0023T3.01553.01553.01553.01553.01543.01543.01533.0153Y29.656829.657729.660229.664329.66
