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1、第三讲方程与方程组适用学科适用区域数学全国适用年级本讲时长高一120分钟知识点一元二次方程的解法一元二次方程根与系数的关系简单高次方程的解法分式方程与无理方程二元二次方程组教学目标掌握一元二次方程解法，根的判别式，根与系数的关系；掌握解方程的一般方法，会解简单的高次方程，分式方程和无理方程；会解简单的二元二次方程组教学重难点重点：一元二次方程及其应用难点：掌握配方法等基本数学方法，初步建立分类讨论思想和等价转换思想2a一、知识讲解1、一元二次方程解法一元二次方程主要有三种解法：配方法、公式法、因式分解法因式分解的内容在第二讲中已经详细解说，我们主要来看一下前两种方法的来源和与之有关的结论一元二
2、次方程根的判别式与求根公式：我们知道，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)，用配方法可以将其变形为bb2-4ac(x+)2=2a4a2因为a0，所以，4a20于是（1）当b2-4ac0时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实-bb2-4ac数根x，x；121（2）当b2-4ac0时，方程的右端为零，因此，原方程有两个相等的实数根2axxb；12（3）当b2-4ac0时，方程的右端是一个负数，而方程的左边(x+b2a)2一定大2a于或等于零，因此，原方程没有实数根由此可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的情况可以由b2-4ac来判定，我们把b2-4ac叫做一元
3、二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式，通常用符号“”来表示综上所述，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)，有（1）当0时，方程有两个不相等的实数根-bb2-4acx，x；12（2）当0时，方程有两个相等的实数根2a2a2a2a2a2aa2a2a4a24a2axxb；12（3）当0时，方程没有实数根2、韦达定理若一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有两个实数根-b+b2-4ac-b-b2-4acx=，x=，则有12-b+b2-4ac-b-b2-4ac-2bbx+x=+=-；12-b+b2-4ac-b-b2-4acb2-(b2-4ac)4accxx=12所以，一元二次方程的
4、根与系数之间存在下列关系：如果ax2+bx+c=0(a0)的两根分别是x，x，那么xx-1212ba，xx12ca这一关系也被称为韦达定理特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0，若x，x是其两根，12由韦达定理可知x+x=p，xx=q121223.一元二次方程的两根之差的绝对值一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x，x分别是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)，则122a2axx-=2a2a2a-b+b2-4ac-b-b2-4acx=，x=，12-b+b2-4ac-b-b2-4ac2
5、b2-4ac12b2-4acD=|a|a|于是有下面的结论：若x和x分别是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两根，则|xx|1212D|a|（其中b2-4ac）4.简单的高次方程的解法在整式方程中，如果未知数的最高次数超过2，那么这种方程称为高次方程本讲主要讨论用因式分解、换元等方法将某些高次方程化为低次方程来解答5.分式方程和无理方程的解法初中我们已经学习了可化为一元一次方程的分式方程的解法本讲主要学习可化为一元二次方程的分式方程的解法以及无理方程的解法并且只要求掌握：(1)不超过三个分式构成的分式方程的解法，会用“去分母”或“换元法”求方程的根，并会验根；(2)了解无理方程概念，掌
6、握可化为一元二次方程的无理方程的解法，会用“平方”或“换元法”求根，并会验根6.二元二次方程组含有两个未知数且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组，叫做二元二次方程组（1）由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组3其一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解蕴含着转化思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解（2）由两个二元二次方程组成的方程组可因式分解型的方程组方程组中的一个方程可以因式分解化为两个二元一次方程，则原方程组可转化为两个方程组，其中每个
7、方程组都是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成可消二次项型的方程组两个方程都有二次项，所以可用加减法消之，得到一个二元一次方程，即转化为由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组易错点1解分式方程和无理方程时一定要验根2二元二次方程组消元要彻底，不可随意加减进行无谓的变换考点1韦达定理是高中数学经常用到的知识点之一，需要理解并记忆，还要了解两根之差绝对值的推导过程2熟练各类方程的解法，因式分解在解各种方程中都很重要3解分式方程、无理方程、二元二次方程组时运算量都比较大，要加强训练以保证准确率二、例题精析【例题1】判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方
8、程的实数根（1）x23x30；（2）x2ax10；（3）x2a（x(a1)0；4）x22xa0【解析】（1）3241330，方程没有实数根=（2）该方程的根的判别式=a241（1）a2+40，所以方程一定有两个不4等的实数根，其两根为22x=1a+a2+4a-a2+4，x=21=（3）由于该方程的根的判别式为D=a241（a）a24a+4=(a2)2，所以，当a2时，0，所以方程有两个相等的实数根xx1；11当a2时，0，所以方程有两个不相等的实数根x1，xa112（4）由于该方程的根的判别式为D=2241a=4(1a)，所以当0，即4(1a)0，即a1时，方程有两个不相等的实数根x=1+1-
9、a，x=1-1-a；12当0，即a1时，方程有两个相等的实数根xx1；12当0，即a1时，方程没有实数根提示：分类讨论思想在高中数学中非常重要【例题2】已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值【答案】方程的另一个根为35，k的值为7【解析】解法一2是方程的一个根，522k260，k7于是，方程就为5x27x60，解得x2，x1235所以，方程的另一个根为35，k的值为7，x55由（3解法二设方程的另一个根为x，则2x11k）2，得k755631所以，方程的另一个根为35，k的值为7提示：注意多角度解决问题，形成一题多解【例题3】5若x和x分别是一元二次方程2x25x30的两根12（1）求|xx|的值；12（2）求11+x2x212（3）x3x312的值；【答案】（1）7237215（2）（3）98x+x=-52
