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1、 北京市高三综合练习数学（理）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知全集，集合，那么集合等于（ ）A. B. C. D.2. 设i是虚数单位，复数，则等于（ ）A. B. C. D.3. 若数列是公比为4的等比数列，且，则数列是（ ）A.公差为2的等差数列 B.公差为的等差数列 C.公比为2的等比数列 D.公比为的等比数列4. 设a为常数，函数. 若为偶函数，则等于（ ）A.-2 B. 2 C. -1 D.15. 已知直线a 和平面，那么的一个充分条件是（ ） A.存在一条直线b， B.存在一条直线b， C
2、.存在一个平面 D.存在一个平面 6. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰十角三角形。若该几何体的体积为V，并且可以用n个这样的几何体拼成一个棱长为4的正方体，则V，n的值是（ ）ABCDV=16，n=47设 R，且，则 ( )A. B. C. D. 8. 函数f (x)的定义域为D，若对于任意，当时，都有，则称函数 在D上为非减函数.设函数f (x)在0，1上为非减函数，且满足以下三个条件：； ； .则等于（ ） A. B. C. D. 开始给出可行域在可行域内任取有序数对（x，y）输出数对（x,y）结束是否二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分
3、，共 30 分. 把答案填在题中横线上 .9.在可行域内任取一点，规则如流程图所示，则能输出数对的概率是 .10.的展开式中的系数是_；其展开式中各项系数之和为_.(用数字作答)11.若数列为调和数列。已知数列= 。12. 设O为坐标原点，向量 . 将绕着点 按逆时针方向旋转 得到向量 , 则的坐标为_.13. 给出下列四个函数： ； ； ； .其中在上既无最大值又无最小值的函数是_.（写出全部正确结论的序号）14. 下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程：区间中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其
4、圆心在y轴上，点A的坐标为，如图3.图3中直线与x轴交于点，则m的象就是n，记作.图1图2图3（）方程的解是 ；（）下列说法中正确命题的序号是 .（填出所有正确命题的序号）； 是奇函数； 在定义域上单调递增； 的图象关于点 对称三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分12分）某个高中研究性学习小组共有9名学生，其中有3名男生和6名女生. 在研究学习过程中，要进行两次汇报活动（即开题汇报和结题汇报），每次汇报都从这9名学生中随机选1人作为代表发言. 设每人每次被选中与否均互不影响.（）求两次汇报活动都由小组成员甲发言的概率；（）设
5、为男生发言次数与女生发言次数之差的绝对值，求的分布列和数学期望.16.（本小题满分12分）O A xBy如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，直线AB的倾斜角为，|OB|=2, 设.（）用表示点B的坐标及；（）若，求的值.17.（本小题满分14分）如图，斜三棱柱的底面是直角三角形，点在底面上的射影恰好是的中点，且（）求证：平面平面；（）求证：；（）求二面角的大小. 18.（本小题满分14分）设函数，在其图象上一点P（x，y）处的切线的斜率记为 （1）若方程的表达式； （2）若的最小值。19.（本小题满分14分）已知椭圆C ，过点M(0, 3)的直线l与椭圆C相交于不同的两点A、B
6、.（）若l与x轴相交于点N，且A是MN的中点，求直线l的方程；（）设P为椭圆上一点, 且 (O为坐标原点). 求当时，实数的取值范围.20.（本小题满分14分）设函数（、为实常数），已知不等式对任意的实数均成立.定义数列和：数列的前项和.（I）求、的值； （II）求证：（III ）求证：一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 题号12345678答案 CBABCBDA二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 把答案填在题中横线上 .9. 10. 10，243 11. 20 12. 13. 14.
7、，三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. （）解：记 “2次汇报活动都是由小组成员甲发言” 为事件A. -1分 由题意，得事件A的概率， 即2次汇报活动都是由小组成员甲发言的概率为. -5分（）解：由题意，的可能取值为2,0, -6分每次汇报时，男生被选为代表的概率为，女生被选为代表的概率为.； ； 所以，的分布列为：20P-10分的数学期望. -12分16. （）解：由三角函数的定义，得点B的坐标为. -1分在中，|OB|=2，由正弦定理，得，即，所以 . -5分注：仅写出正弦定理，得3分. 若用直线AB方程求得也得分.（）解：由（）得
8、， -7分因为，所以， -9分又 ， -11分 所以. -12分17. （）证明：设的中点为.在斜三棱柱中，点在底面上的射影恰好是的中点, 平面ABC. 1分平面，. 2分，.，平面. 4分平面， 平面平面. 5分解法一：（）连接，平面，是直线在平面上的射影. 5分，四边形是菱形. 7分. 9分（）过点作交于点，连接.，平面.是二面角的平面角. 11分设，则，.平面，平面，.在中，可求.，. 13分.二面角的大小为. 14分解法二：（）因为点在底面上的射影是的中点，设的中点为，则平面ABC.以为原点，过平行于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，由题意可知
9、，.设，由，得7分. 又. 9分（）设平面的法向量为.则.设平面的法向量为.则. 12分. 13分二面角的大小为. 14分18. 解：（1）根据导数的几何意义知由已知2、4是方程的两个实数由韦达定理， 7分 （2）在区间1，3上是单调减函数，所以在1，3区间上恒有而内的点到原点距离的平方，其中点（2，3）距离原点最近，所以当有最小值13。14分19. （）解：设A(x1, y1)，因为A为MN的中点，且M的纵坐标为3，N的纵坐标为0，所以， -1分又因为点A(x1, y1)在椭圆C上，所以，即，解得，则点A的坐标为或， -3分所以直线l的方程为或. -5分 （）解：设直线AB的方程为或，A(x1, y1)，B(x2, y2)，当AB的方程为时，与题意不符. -6分当AB的方程为时： 由题设可得A、B的坐标是方程组的解， 消去y得， 所以即， 则， -8分因为 ，所以，解得， 所以. -10分因为，即，所以当时，由，得，上述方程无解，所以此时符合条件的直线不存在； -11分当时， 因为点在椭圆上， 所以， -12分 化简得， 因为，所以，则. 综上，实数的取值范围为. -
