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1、随机变量及其分布考点汇总作者：日期：2第二章随机变量及其分布复习一、随机变量.1. 随机试验的结构应该是不确定的. 试验如果满足下述条件：试验可以在相同的情形下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.它就被称为一个随机试验.2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 . 若是一个随机变量，a，b 是常数 . 则a b 也是一个随机变量. 一般地，若是随机变量， f ( x) 是连续函数或单调函数，则f ( )也是随机变量. 也
2、就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.3、分布列：设离散型随机变量可能取的值为：x1 ,x2 , xi ,取每一个值x1 (i1,2,) 的概率 P(x i ) p i ，则表称为随机变量的概率分布，简称的分布列.x1x2xiPp 1p 2p i有性质 p10,i1,2,； p 1 p 2p i1 .注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量. 例如：0,5即 可以取 0 5 之间的一切数，包括整数、小数、无理数.典型例题：1、随机变量的分布列为P(k )c则3)_k(k, k1,2,3P(11)2、袋中装有黑球和白球共7 个，从中任取两个球都是白球的概率为1 ，
3、现在甲乙两人从袋中轮流摸去一7球，甲先取，乙后取，然后甲再取 ，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，用表示取球的次数。（ 1）求的分布列（ 2）求甲取到白球的的概率3、 5 封不同的信，放入三个不同的信箱，且每封信投入每个信箱的机会均等，X 表示三哥信箱中放有信件树木的最大值，求X 的分布列。4、为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50 人进行了问卷调查得到了如下的列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生5女生10合计已知在全部50 人中随机抽取31 人抽到喜爱打篮球的学生的概率为5（ 1）请将上面的列联表补充完整；（ 2）是否有 99.5 的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明
4、你的理由；（ 3）已知喜爱打篮球的10 位女生中，A1， A2， A3 , A4 , A5 还喜欢打羽毛球，B1B2B3 还喜欢打乒乓球， C1C2 还喜欢踢足球，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1 名进行其他方面的调查，求B1 和 C1 不全被选中的概率下面的临界值表供参考：2k )0.150.100.050.0250.0100.0050.001p(Kk2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828( 参考公式： K 2n(adbc)2，其中 n ab cd )(ab)(cd)(a c)(bd)- 3 -二、几种常见概率1、条件概率与事件的
5、独立性（ 1） B|A 与 AB的区别： _（ 2） P(B|A) 的计算公式 _, 注意分子分母事件的性质相同（ 3） P(AB) 的计算公式 _注意三点：前提，目标，一般情况_（ 4） P（ A+B）的计算公式 _注意三点：前提，目标，一般情况_典型例题：1、市场上供应的灯泡，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率80%，则从市场上买到一个是甲厂产的合格品的概率是多少？2、把一副扑克 52 张随即均分给赵钱孙李四家， A=赵家得到六章草花 ， B=孙家得到 3 张草花 ，计算 P(B|A) ， P(AB)3、从混有5 张假钞的20 张百元钞票中任取两
6、张，将其中1 张在验钞机上检验发现是假钞，求两张都是假钞的概率。4、有外形相同的球分装在三个盒子， 每个盒子 10 个，其中第一个盒子 7 球标有字母 A，3 个球标有字母 B；第二个盒子中五个红球五个白球；第三个盒子八个红球，两个白球；在如下规则下：先在第一个盒子取一个球，若是 A 球，则在第二个盒子取球；如果第一次取出的是 B 球，则在第三个盒子中取球，如果第二次取出的球是红球，则称试验成功，求试验成功的概率。5、在图所示的电路中， 5 只箱子表示保险匣，箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，当开关合上时，电路畅通的概率是 _6、甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0
7、.8，乙射中的概率为0.9，求：（1） 2人都射中目标的概率；（ 2）2 人中恰有1人射中目标的概率；（ 3）21（ 4）2人至多有1人射中目标的概率？人至少有 人射中目标的概率；三、几种分布1.独立重复试验与二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是：P(k)C kn pk q n k 其中 k0,1, n, q1p 于是得到随机变量的概率分布如下：我们称这样的随机变量服从二项分布，记作 B（ np），其中n， p 为参数，并记C kn pk qn kb(k; n p) .二项分布的判断与应用.二项分布，实际是对n 次独立重复试
8、验. 关键是看某一事件是否是进行n 次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.- 4 -当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.2.几何分布：“k ”表示在第k 次独立重复试验时， 事件第一次发生， 如果把 k 次试验时事件 A 发生记为 A k ，事 A 不发生记为 A k , P(A k) q ，那么 P( k)P(A1A 2A k1A k ) . 根据相互独立事件的概率乘法分式：P( k) P(A 1 )P(A 2 )P(A k 1 )P(A
9、k )qk1p(k1,2,3,) 于是得到随机变量的概率分布列.123kPqqpq2 pq k 1 p我们称服从几何分布，并记g(k, p)q k 1p ，其中 q1 p.k 1,2,33.超几何分布：一批产品共有N件，其中有 M（ M N）件次品，今抽取n(1 n N) 件，则其中的次品数kn k是一离散型随机变量，分布列为P( k)CMCNM(0 kM,0n kNM ) . 分子是从 M件次品中取C Nnk 件，从 N-M 件正品中取 n-k 件的取法数，如果规定m r 时 C mr0 ，则 k 的范围可以写为 k=0， 1， ，n. 超几何分布的另一种形式：一批产品由a件次品、 b 件正
10、品组成，今抽取n 件（ 1 n a+b），则次品数kn kC a Cbk0,1, n. .的分布列为 P( k)nC ab超几何分布与二项分布的关系.设一批产品由a 件次品、 b 件正品组成， 不放回抽取 n 件时，其中次品数服从超几何分布. 若放回式抽取，则其中次品数的分布列可如下求得：把ab 个产品编号，则抽取 n 次共有 (ab) n 个可能结果，等可能：kk n k个结果， 故C nk a k b n kka ka n k，即 (a)( k) 含 C n a bP( k)C n () (1) , k 0,1,2, n. 我(ab) nB nbaba ba们先为 k 个次品选定位置，共C kn 种选法；然后每
