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1、1. 一老人60岁时将养老金10万元存入基金会，月利率0.4%， 他每月取1000元作为生活费，建立差分方程计算他每岁末尚有多少钱？多少岁时将基金用完？如果想用到80岁，问60岁时应存入多少钱？分析：(1) 假设k个月后尚有元，每月取款b元，月利率为 r，根据题意，可每月取款，根据题意，建立如下的差分方程： ，其中a = 1 + r (1)每岁末尚有多少钱,即用差分方程给出的值。(2) 多少岁时将基金用完，何时由（1）可得：若，(3) 若想用到 80 岁，即 n(80-60)*12=240 时，利用 MATLAB 编程序分析计算该差分方程模型，源程序如下： clear allclose all
2、clc x0=100000;n=150;b=1000;r=0.004;k=(0:n);y1=dai(x0,n,r,b);round(k,y1) function x=dai(x0,n,r,b)a=1+r;x=x0;for k=1:n x(k+1)=a*x(k)-b;end (2)用MATLAB计算： A0=250000*(1.004240-1)/1.004240思考与深入： (2) 结论：128个月即70岁8个月时将基金用完 (3) A0 = 1.5409e+005 结论：若想用到80岁，60岁时应存入15.409万元。2. 某人从银行贷款购房，若他今年初贷款10万元，月利率0.5%，他每月还
3、1000元。建立差分方程计算他每年末欠银行多少钱，多少时间才能还清？如果要10年还清，每月需还多少？分析：记第k个月末他欠银行的钱为x（k），月利率为r，且a=1+r，b为每月还的钱。则第k+1个月末欠银行的钱为 x(k+1)=a*x(k)+b，a=1+r，b=-1000，k=0，1，2 在 r=0.005 及 x0=100000 代入，用 MATLAB 计算得结果。编写 M 文件如下: function x=exf11(x0,n,r,b)a=1+r;x=x0;for k=1:n x(k+1)=a*x(k)+b;endMATLAB计算并作图: k=(1:140); y=exf11(100000
4、,140,0.0005,-1000);所以如果每月还1000元，则需要11年7个月还清。 如果要10年即 n=120 还清，则模型为： r*x0*(1+r)n/1-(1+r)n b=-r*x0*(1+r)n/1-(1+r)n 用 MATLAB 计算如下： x0=100000; r=0.005; n=120; b=-r*x0*(1+r)n/1-(1+r)n b= 1.1102e+003 所以如果要10年还清，则每年返还1110.2元。3. 在某种环境下猫头鹰的主要食物是田鼠，设田鼠的年平均增长率为，猫头鹰的存在引起的田鼠增长率的减少与猫头鹰的数量成正比，比例系数为；猫头鹰的年平均减少率为；田鼠的
5、存在引起的猫头鹰减少率的增加与田鼠的数量成正比，比例系数为。建立差分方程模型描述田鼠和猫头鹰共处时的数量变化规律，对以下情况作图给出50年的变化过程。(1) 设开始时有100只田鼠和50只猫头鹰。（2）同上，开始时有100只田鼠和200只猫头鹰。（3）适当改变参数（初始值同上）（4）求差分方程的平衡点，它们稳定吗？分析：记第k代田鼠数量为，第k代猫头鹰数量为，则可列出下列方程：运用matlab计算，程序如下：function z=disanti(x0,y0,a1,a2,r1,r2)x=x0;y=y0;for k=1:49 x(k+1)=x(k)+(r1-y(k)*a1)*x(k); y(k+1
6、)=y(k)+(-r2+x(k)*a2)*y(k);endz=x,y;(1)z=disanti(100,50,0.001,0.002,0.2,0.3)plot(1:50,z(:,1);hold on; plot(1:50,z(:,2),r)(2)z=disanti(100,200,0.001,0.002,0.2,0.3)plot(1:50,z(:,1);hold on; plot(1:50,z(:,2),r)(3)当a1,a2分别取0.002,0.002时，得到如下图像：可见，当a1,a2参数在一定范围内改变时，猫头鹰与田鼠数量在一定范围内震荡，且不灭绝。(4)令；解方程得到如下结果：x=15
7、0y=200经matlab验证如下：z=disanti(150,200,0.001,0.002,0.2,0.3)plot(1:50,z(:,1);hold on; plot(1:50,z(:,2),r)由此可知：平衡点为：x=150 y=2004. 研究将鹿群放入草场后草和鹿两种群的相互作用。草的生长遵从Logistic规律，年固有增长率0.8，最大密度为3000（密度单位），在草最茂盛时每只鹿每年可吃掉1.6（密度单位）的草。若没有草，鹿群的年死亡率高达0.9，而草的存在可使鹿的死亡得以补偿，在草最茂盛时补偿率为1.5。作一些简化假设，用差分方程模型描述草和鹿两种群数量的变化过程，就以下情况
8、进行讨论：（1）比较将100只鹿放入密度为1000和密度为3000的草场两种情况。（2）适当改变参数，观察变化趋势。模型假设：1草独立生存，独立生存规律遵从Logistic规律；2草场上除了鹿以外，没有其他以草为食的生物；3鹿无法独立生存。没有草的情况下，鹿的年死亡率一定；4假定草对鹿的补偿率是草场密度的线性函数；5每只鹿每年的食草能力是草场密度的线性函数。记草的固有增长率为r，草的最大密度为N，鹿独立生存时的年死亡率为d，草最茂盛时鹿的食草能力为a，草对鹿的年补偿作用为b；第k1年草的密度为 ，鹿的数量为，第k年草的密度为，鹿的数量为。草独立生存时，按照Logistic规律增长，则此时草的增
9、长差分模型为 ，但是由于鹿对草的捕食作用，草的数量会减少，则满足如下方程： （1）鹿离开草无法独立生存，因此鹿独立生存时的模型为，但是草的存在会使得鹿的死亡率得到补偿，则满足如下差分方程： （2）另外，记初始状态鹿的数量为，草场密度初值为，各个参数值为：， ， ， ， 利用MATLAB编程序分析计算该差分方程模型，源程序如下：%定义函数diwuti，实现diwuti-Logistic综合模型的计算，计算结果返回种群量function B =disiti(x0,y0,r,N,b,a,d,n) % 描述diwuti-Logistic综合模型的函数 x(1) = x0; % 草场密度赋初值 y(1)
10、 = y0; % 鹿群数量赋初值 for k = 1 : n; x(k+1) = x(k) + r*(1-x(k)/N)*x(k) - a*x(k)*y(k)/N; y(k+1) = y(k) + (-d + b*x(k)/N)*y(k); end B = x;y;%clear allC1 =disiti (1000,100,0.8,3000,1.5,1.6,0.9,50);C2 = disiti(3000,100,0.8,3000,1.5,1.6,0.9,50);k = 0 : 50;plot(k,C1(1,:),b,k,C1(2,:),b,k,C2(1,:),r,k,C2(2,:),r)a
11、xis(0 50 0 3000);xlabel(时间/年)ylabel(种群量/草场：单位密度，鹿：头)title(图1.草和鹿两种群数量变化对比曲线)gtext(x0=1000)gtext(x0=3000)gtext(草场密度)gtext(鹿群数量)比较将100只鹿放入密度为1000和密度为3000的草场两种情况（绘制曲如图1所示）： 由图中可以看到，蓝色曲线代表草场密度的初始值为1000时，两种群变化情况；而红色曲线则代表草场密度的初始值为3000时，两种群的变化情况。观察两种情况下曲线的演变情况，可以发现大约40-50年左右时间后，两种群的数量将达到稳定。使用MatLab计算可以得到，当
12、，即两种群数量的平衡点为（1800，600）。为进一步验证此结论，下面通过改变相关参数，研究两种群变化情况，找到影响平衡点的因素：（1）改变草场密度初始值；从图2中可以看到，改变草场的初始密度不会对两种群数量的平衡点造成影响。（2）改变鹿的数量初值由图2可以看到，鹿初始的数量的改变在理论上也不会改变最终种群数量的平衡值。但是，我们可以看到，y0=2000的那条曲线（紫色曲线），在515区间内降低到了非常小的值，这显然是不符合鹿的现实繁殖规律的，因为鹿的种群可持续繁殖的最小数量是存在域值的。当种群数量低于这个值时，在实际情况下，鹿的种群就要灭绝。同样道理，草场的密度也存在一个最小量的域值，低于这
13、个阈值，草也将灭绝。综合上面分析，可以在此得出一个结论：最大密度一定的草场所能承载的鹿的数量存在上限。（3）改变草场的最大密度N，画图比较结果；如图4所示，如果草场密度的最大值N发生变化，则最终两种群数量的平衡点也会发生相应的变化。结论：N值越大，平衡点两种群的数量就越大；N越小，平衡点两种群的数量就越小。（4）改变鹿群独立生存时的死亡率实验中，改变了鹿单独生存的死亡率得到如图5.1和5.2两幅图，可以得出结论：鹿单独生存的死亡率越大，则两种群数量达到平衡点的时间越短；相反，鹿单独生存的死亡率越小，则两种群数量达到平衡点的时间越长（甚至有可能会出现分叉、混沌）。 （5）草场密度对鹿数量的补偿作
14、用变化（b变化）从图中可以看到，如果b增大，则达到稳定点的时间会加长，但如果b减小则会有一个域值，当b低于域值时，草鹿种群数量的平衡时将不收敛于同一个平衡点，出现多值性。5. Leslie种群年龄结构的差分方程模型 已知一种昆虫每两周产卵一次，六周以后死亡（给出了变化过程的基本规律）。孵化后的幼虫2周后成熟，平均产卵100个，四周龄的成虫平均产卵150个。假设每个卵发育成2周龄成虫的概率为0.09，（称为成活率），2周龄成虫发育成4周龄成虫的概率为0.2。假设开始时，02，24，46周龄的昆虫数目相同，计算2周、4周、6周后各种周龄的昆虫数目； 讨论这种昆虫各种周龄的昆虫数目的演变趋势：各周龄的昆虫比例是否有一个稳定值？昆虫是无限地增长还是趋于灭亡？ 假设使用了除虫剂，已知使用了除虫剂后各周龄的成活率减半，问这种除虫剂是否有效？ 分
