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1、高等数学第三章积分学初步第三章 第一节 一 不定积分 一元函数积分学 不定积分概念及基本积分公式 定义 如果在区间 I内，可导函数F(C)的导函数为f(x)，即对任一xI，都有F(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx 则F(C) 称为f(x)在I内的一个原函数。 说明 ： 连续函数一定有原函数. 若F(C)是f(x)的一个原函数，则f(x)的所有原函数可表示为F(x)+C。 f(x)的不定积分。记作：f(x)dx=F(x)+C 其定义 在I内，f(x)的全体原函数称为中：为积分号 ，f(x)为被积函数，f(x)dx为被积表达式 ，x为积分变量。 二基本积分公式 由于不定积分的定义可知，其运
2、算为导数微分的逆运算。因此我们可以利用导数公式得到积分公式。 不定积分的基本积分公式 ： kdx=kx+C； xdx=a1a+1x+c(a-1) a+11xxxdx=Inx+c edx=e+c 1x(6) sinxdx=-cosx+C a+C ; ;lna(5) axdx=(7) cosxdx=sinx+C2 (8) secxdx=tanx+C ;(9) csc2xdx=-cotx+C (10) secxtanxdx=secx+C ;(11) cscxcotxdx=-cscx+C; (12) (13) 11-x2dx=arcsinx+C ; 1dx=arctanx+C 1+x2二 不定积分的性
3、质 1 积分与导数微分的互逆运算性质 (1) ddxf(x)dx=f(x)或df(x)dx=f(x)dx (2) F(x)dx=F(x)+c或dF(x)=F(x)+c. 不定积分的运算性质 2 性质1：若f(x),g(x)都有原函数，则性质2：f(x)g(x)dx=f(x)dxg(x)dx f(x)有原函数，kR，则 kf(x)dx=kf(x)dx 计算(例1 11-xx+)dx 3x2x32151-212解：原式=xdx-xdx+xdx=-2-x2+x+c 252x-3例2 x2计算dx 21+xx2+1-111解：原式=dx=1-dx=1dx-dx=x-arctanx+c 2221+x1+
4、x1+x例3 计算1sin2xcos2xdx sin2x+cos2x11解：原式=dx=+cos2xsin2xdx=tanx-cotx+c sin2xcos2x三、不定积分的几何意义 函数f(x)的一个原函数F(x)的图形叫做函数f(x)的积分曲线。不定积分 f(x)dx在几何上就表示某一条积分曲线沿着y轴作平行线移动所得到的积分曲线族，它们的方程是y=F(x)+c 第二节 不定积分的积分方法 一 换元积分法 第一换元积分法 第一换元法是求复合函数的不定积分的基本方法。把复合函数的微分法反过来，用与求不定积分，利用中间变量的替换，得到复合函数的积分法。 定理 设f(u)有原函数F(u),u=j
5、(x)可导，则 fj(x)j(x)dx=fj(x)dj(x)=f(u)du=F(u)+C=Fj(x)+C 1、凑常数：dx=例1 求令j(x)=u1d(ax+b)(a0) a31-2xdx. 解 原式=(1-2x)(-)d(1-2x) 113121 =-(1-2x)3d(1-2x) 23 =-(1-2x)3+c 8例2 推导下列积分公式： 4xdx=arcsin+c;(a0) aa2-x2111x-adx=lnx2-a22ax+a+c. 解 1a-x122dx=1xa1-2adx =x1-2axxd=arcsin+c aa1111dx(- =x2-a22ax-ax+a)dx 111(dx-dx
6、) =2ax-ax+a111=(d(x-a)-d(x+a) 2ax-ax+a1(lnx-a-lnx+a)+c =2a=2、凑幂函数：xdx=m1x-aln+c 2ax+a1d(xm+1+b)(m-1) m+1例3 求xx-1dx 2解 122xx-1dx=(x-1)d(x2-1) 21 =(x2-1)2d(x2-1) 21 =(x2-1)2+c 33112例4 e2x-1xdx 解 e2x-1xx-1dx=e2+c x-1d(2x-1) =e23、其它类型 凑对数函数11dx=d(lnx)；凑指数函数exdx=dex,axdx=dax；凑三角函数lnax12sinxdx=-d(cosx),co
7、sxdx=d(sinx),dx=secxdx=d(tanx),2cosxsecxtanxdx=d(secx)等，凑反三角函数11-x2dx=d(arcsinx)等。 例5 求ex1-eex1-e2x2xdx 11-(ex)2解 dx=dex =arcsinex+c x-arctanx1+x2dx xarctanxdx-解 原式=1+x2dx 1+x2例6 求1d(1+x2)-arctanxd(arctanx) =21+x211 =ln(1+x2)-(arctanx)2+c 22 第二换元积分法 第一类换元法是将积分fj(x)j(x)dx代为积分f(u)du，我们常常遇到相反的情形，适当地选择变
8、量代换x=j(t)，从而将积分公式：f(x)dx化为积分fj(t)j(t)dt. f(x)dx=fj(t)j(t)dt叫做第二换元积分法。 例7、求不定积分1+11+xdx 解：令t=1+x ，则t2=1+x ，dx=2tdt 代入上式有 1+11+xdx=112tdt=2(1-)dt 1+t1+t=2(t-ln1+t)+c=21+x-ln(1+1+x)+c 例8、 求dxx(1-x)3解 为了去掉被积函数的根号，由于x、3x的根指数2和3的最小公倍数是6，于是，令6x=t(t0),即作代换x=t(t0)，则 6dxx(1-x)3作代换x=t(t0)66t5dtt(1-t)636t5dtt2-
9、1+1=63=6dt 22t(1-t)1-t =6(11+t-1)dt=3ln-6t+c (1-t2)1-tx还原3ln1+6x1-6x-68x+c 用t=6作三角函数代换 被积函数中含有a2-x2时，为了消去根式，应联想到有关的三角函数平方公式，为此，做三角代换，令 x=asint(-则 p2tp2), 例9 求不定积分a2-x2=acost且dx=acostdt. a2-x2dx. 解 令 x=asint(-22p22t2p2),代入可得： 21+cos2ta2a2a-xdx=acostdt=a2dt=2t+4sin2t+c. 22aa=t+sintcost+c22为了把t回代成x的函数，
10、可根据sint=如图32所示，得 x做辅助直角三角形acost=a2-x2，所求的不定积分为 a 图32 a2x1a-xdx=arcsin+xa2-x2+c. 2a222同理可知，当被积函数含有a2-x2时，可作三角代换 x=atant. 例10 求不定积分1a+x22dx. 解 令x=atant(-p2t0). 22解 为了消去被积函数中的根号，要用sect-1=tant，令x=asect(0tp2)， 则dx=asecttantdt,x2-a2=atant, 于是，dxx2-a2=asecttantdt=sectdt=lnsect+tant+c. atantx2-a2，于a可作辅助直角三角
11、形，如图34，得tant=是 图34 x=ln+ax2-a2dtx2-a2+c1=lnx+x2-a2+c1-lna=lnx+x2-a2+c.a第二类换元法常用于被积函数中含有根式的情况，常用的变量替换可总结如下. 被积函数为f(1x,nn2x)，则令t=nx，其中n为n1,n2的最小公倍数； 被积函数为f(nax+b)，则令t=nax+b； 被积函数为f(a2-x2)，则令x=asint； 被积函数为f(x2+a2)，则令x=atant； 被积函数为f(x2-a2)，则令x=asect. 在做三角代换时，可以利用直角三角形的边角关系确定有关三角函数的关系，以返回原积分变量。 例12.求xx+1dx. 解1、用第二类换元积分法。 22令x+1=t，则x=t-1，dx=2tdt.于是 242xx+1dx=(t-1)t2tdt=2(t-t)dt=25232t-t+C=t3(3t2-5)+c. 5315由于x+1=t，所以t=2x+1，从而 xx+1dx=2(x+1)x+13(x+1)-5+c. 15解2、用第一类换元积分法。 3
