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1、8第30届全国中学生物理竞赛复赛试题一、（15分）一半径为、内侧光滑的半球面固定在地面上，开口水平且朝上. 一小滑块在半球面内侧最高点处获得沿球面的水平速度，其大小为(). 求滑块在整个运动过程中可能达到的最大速率. 重力加速度大小为. 二、（20分）一长为2l的轻质刚性细杆位于水平的光滑桌面上，杆的两端分别固定一质量为m的小物块D和一质量为（为常数）的小物块B，杆可绕通过小物块B所在端的竖直固定转轴无摩擦地转动. 一质量为m的小环C套在细杆上（C与杆密接），可沿杆滑动，环C与杆之间的摩擦可忽略. 一轻质弹簧原长为l，劲度系数为k，两端分别与小环C和物块B相连. 一质量为m的小滑块A在桌面上以
2、垂直于杆的速度飞向物块D，并与之发生完全弹性正碰，碰撞时间极短. 碰撞 时滑块C恰好静止在距轴为（）处. 1. 若碰前滑块A的速度为，求碰撞过程中轴受到的作用力的冲量；2. 若碰后物块D、C和杆刚好做匀速转动，求碰前滑块A的速度应满足的条件. 三、（25分）一质量为、长为的匀质细杆，可绕过其一端的光滑水平轴在竖直平面内自由转动. 杆在水平状态由静止开始下摆，1. 令表示细杆质量线密度. 当杆以角速度绕过其一端的光滑水平轴在竖直平面内转动时，其转动动能可表示为 式中，为待定的没有单位的纯常数. 已知在同一单位制下，两物理量当且仅当其数值和单位都相等时才相等. 由此求出、和的值. 2. 已知系统的
3、动能等于系统的质量全部集中在质心时随质心一起运动的动能和系统在质心系（随质心平动的参考系）中的动能之和，求常数的值. 3. 试求当杆摆至与水平方向成角时在杆上距点为处的横截面两侧部分的相互作用力. 重力加速度大小为. 提示：如果是的函数，而是的函数，则对的导数为例如，函数对自变量的导数为四、（20分）图中所示的静电机由一个半径为、与环境绝缘的开口（朝上）金属球壳形的容器和一个带电液滴产生器G组成. 质量为、带电量为的球形液滴从G缓慢地自由掉下（所谓缓慢，意指在G和容器口之间总是只有一滴液滴）. 液滴开始下落时相对于地面的高度为. 设液滴很小，容器足够大，容器在达到最高电势之前进入容器的液体尚未
4、充满容器. 忽略G的电荷对正在下落的液滴的影响.重力加速度大小为. 若容器初始电势为零，求容器可达到的最高电势. 五、（25分）平行板电容器两极板分别位于的平面内，电容器起初未被充电. 整个装置处于均匀磁场中，磁感应强度大小为，方向沿轴负方向，如图所示. 1. 在电容器参考系中只存在磁场；而在以沿y轴正方向的恒定速度（这里表示为沿x、y、z轴正方向的速度分量分别为0、0，以下类似）相对于电容器运动的参考系中，可能既有电场又有磁场. 试在非相对论情形下，从伽利略速度变换，求出在参考系中电场和磁场的表达式. 已知电荷量和作用在物体上的合力在伽利略变换下不变. 2. 现在让介电常数为的电中性液体（绝
5、缘体）在平行板电容器两极板之间匀速流动，流速大小为，方向沿轴正方向. 在相对液体静止的参考系（即相对于电容器运动的参考系）中，由于液体处在第1问所述的电场中，其正负电荷会因电场力作用而发生相对移动（即所谓极化效应），使得液体中出现附加的静电感应电场，因而液体中总电场强度不再是，而是，这里是真空的介电常数. 这将导致在电容器参考系中电场不再为零. 试求电容器参考系中电场的强度以及电容器上、下极板之间的电势差. （结果用、或（和）表出. ）六、（15分）温度开关用厚度均为的钢片和青铜片作感温元件；在温度为时，将它们紧贴，两端焊接在一起，成为等长的平直双金属片. 若钢和青铜的线膨胀系数分别为/度和/
6、度. 当温度升高到时，双金属片将自动弯成圆弧形，如图所示. 试求双金属片弯曲的曲率半径. (忽略加热时金属片厚度的变化. ) 七、（20分）一斜劈形透明介质劈尖，尖角为，高为. 今以尖角顶点为坐标原点，建立坐标系如图(a)所示；劈尖斜面实际上是由一系列微小台阶组成的，在图(a)中看来，每一个小台阶的前侧面与xz平面平行，上表面与yz平面平行. 劈尖介质的折射率n随而变化，其中常数. 一束波长为的单色平行光沿轴正方向照射劈尖；劈尖后放置一薄凸透镜，在劈尖与薄凸透镜之间放一档板，在档板上刻有一系列与方向平行、沿方向排列的透光狭缝，如图(b)所示. 入射光的波面（即与平行入射光线垂直的平面）、劈尖底
7、面、档板平面都与轴垂直，透镜主光轴为轴. 要求通过各狭缝的透射光彼此在透镜焦点处得到加强而形成亮纹. 已知第一条狭缝位于处；物和像之间各光线的光程相等. 1. 求其余各狭缝的坐标；2. 试说明各狭缝彼此等距排列能否仍然满足上述要求. 图(a) 图(b)八、（20分）光子被电子散射时，如果初态电子具有足够的动能，以至于在散射过程中有能量从电子转移到光子，则该散射被称为逆康普顿散射. 当低能光子与高能电子发生对头碰撞时，就会出现逆康普顿散射. 已知电子静止质量为，真空中的光速为. 若能量为的电子与能量为的光子相向对碰，1. 求散射后光子的能量； 2. 求逆康普顿散射能够发生的条件；3. 如果入射光
8、子能量为，电子能量为，求散射后光子的能量. 已知. 计算中有必要时可利用近似：如果，有. 第30届全国中学生物理竞赛复赛解答与评分标准一参考解答：以滑块和地球为系统，它在整个运动过程中机械能守恒. 滑块沿半球面内侧运动时，可将其速度分解成纬线切向 (水平方向)分量及经线切向分量. 设滑块质量为，在某中间状态时，滑块位于半球面内侧处，和球心的连线与水平方向的夹角为. 由机械能守恒得 (1)这里已取球心处为重力势能零点. 以过的竖直线为轴. 球面对滑块的支持力通过该轴，力矩为零；重力相对于该轴的力矩也为零. 所以在整个运动过程中，滑块相对于轴的角动量守恒，故. (2)由 (1) 式，最大速率应与的
9、最大值相对应 . (3)而由 (2) 式，不可能达到. 由(1)和(2)式，的最大值应与相对应，即 . (4)(4)式也可用下述方法得到：由 (1)、(2) 式得 . 若，由上式得 . 实际上，也满足上式。由上式可知 . 由(3)式有 . (4)将 代入式(1)，并与式(2)联立，得. (5)以为未知量，方程(5)的一个根是，即，这表示初态，其速率为最小值，不是所求的解. 于是. 约去，方程(5)变为. (6)其解为. (7)注意到本题中，方程(6)的另一解不合题意，舍去. 将(7)式代入(1)式得，当时，,(8)考虑到(4)式有. (9)评分标准：本题15分. (1)式3分， (2) 式3分
10、，(3) 式1分，(4) 式3分， (5) 式1分，(6) 式1分，(7) 式1分， (9) 式2分. 二、参考解答：1. 由于碰撞时间很小，弹簧来不及伸缩碰撞已结束. 设碰后A、C、D的速度分别为、，显然有. (1) 以A、B、C、D为系统，在碰撞过程中，系统相对于轴不受外力矩作用，其相对于轴的角动量守恒. (2)由于轴对系统的作用力不做功，系统内仅有弹力起作用，所以系统机械能守恒. 又由于碰撞时间很小，弹簧来不及伸缩碰撞已结束，所以不必考虑弹性势能的变化. 故. (3)由 (1)、(2)、(3) 式解得 (4)代替 (3) 式，可利用弹性碰撞特点. (3)同样可解出(4). 设碰撞过程中D
11、对A的作用力为，对A用动量定理有,(5)方向与方向相反. 于是，A对D的作用力为的冲量为 (6)方向与方向相同. 以B、C、D为系统，设其质心离转轴的距离为，则. (7)质心在碰后瞬间的速度为. (8)轴与杆的作用时间也为，设轴对杆的作用力为，由质心运动定理有. (9)由此得 . (10)方向与方向相同. 因而，轴受到杆的作用力的冲量为,(11)方向与方向相反. 注意：因弹簧处在拉伸状态，碰前轴已受到沿杆方向的作用力；在碰撞过程中还有与向心力有关的力作用于轴. 但有限大小的力在无限小的碰撞时间内的冲量趋于零，已忽略.代替 (7)-(9) 式，可利用对于系统的动量定理. 也可由对质心的角动量定理代替 (7)-(9) 式. 2. 值得注意的是，(1)、(2)、(3) 式是当碰撞时间极短、以至于弹簧来不及伸缩的条件下才成立的. 如果弹簧的弹力恰好提供滑块C以速度绕过B的轴做匀速圆周运动的向心力，即 (12)则弹簧总保持其长度不变，(1)、(2)、(3) 式是成立的. 由(12)式得碰前滑块A的速度应满足的条件 (13)可见，为了使碰撞后系统能保持匀速转动，碰前滑块A的速度大小应满足(13)式. 评分标准：本题20分.
