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1、第十二章推理与证明、算法、复数第一节合情推理与演绎推理本节主要包括2个知识点：1.合情推理；2.演绎推理.突破点(一)合情推理基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 类型定义特点归纳推理根据某类事物的部分对象具有某种特征，推出这类事物的全部对象都具有这种特征的推理由部分到整体、由个别到一般类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理由特殊到特殊考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 归纳推理运用归纳推理时的一般步骤(1)通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；(2)把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题(猜想)；(3)对所得出的一
2、般性命题进行检验类型(一)与数字有关的推理例1给出以下数对序列：(1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)记第i行的第 j 个数对为aij，如a43(3,2)，则anm()A(m，nm1) B(m1，nm)C(m1，nm1) D(m，nm)解析由前4行的特点，归纳可得：若anm(a，b)，则am，bnm1，anm(m，nm1)答案A易错提醒解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等类型(二)与式子有关的推理例2(1)(2016山东高考)观察下列等式：2212；222223
3、；222234；222245；照此规律，222_.(2)已知x(0，)，观察下列各式：x2，x3，x4，类比得xn1(nN*)，则a_.解析(1)观察前4个等式，由归纳推理可知222n(n1).(2)第一个式子是n1的情况，此时a111；第二个式子是n2的情况，此时a224；第三个式子是n3的情况，此时a3327，归纳可知ann.答案(1)(2)nn方法技巧与式子有关的推理类型及解法(1)与等式有关的推理观察每个等式的特点，找出等式左右两侧的规律及符号后可解(2)与不等式有关的推理观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解类型(三)与图形有关的推理例3某种树的分枝生长规律如图所示，第1
4、年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为()A21 B34 C52 D55解析因为211,321,532，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为213455.答案D方法技巧与图形有关的推理的解法与图形变化相关的归纳推理，解决的关键是抓住相邻图形之间的关系，合理利用特殊图形，找到其中的变化规律，得出结论，可用赋值检验法验证其真伪性类比推理1类比推理的应用一般分为类比定义、类比性质和类比方法，常用技巧如下：类比定义在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解类比性质从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型
5、问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键类比方法有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移2平面中常见的元素与空间中元素的类比：平面点线圆三角形角面积周长空间线面球三棱锥二面角体积表面积例4如图，在梯形ABCD中，ABCD，ABa，CDb(ab)若EFAB，EF到CD与AB的距离之比为mn，则可推算出：EF.用类比的方法，推想出下面问题的结果在上面的梯形ABCD中，分别延长梯形的两腰AD和BC交于O点，设OAB，ODC的面积分别为S1，S2，则OEF的面积S0与S1，S2的关系是()AS0BS0C.D.解析
6、在平面几何中类比几何性质时，一般是由平面几何中点的性质类比推理线的性质；由平面几何中线段的性质类比推理面积的性质故由EF类比到关于OEF的面积S0与S1，S2的关系是.答案C方法技巧 类比推理的步骤和方法(1)类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为：找出两类事物之间的相似性或一致性；用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)(2)类比推理的关键是找到合适的类比对象平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1考点二由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“mnnm”类比得到“abba”；“(
7、mn)tmtnt”类比得到“(ab)cacbc”；“(mn)tm(nt)”类比得到“(ab)ca(bc)”；“t0，mtxtmx”类比得到“p0，apxpax”；“|mn|m|n|”类比得到“|ab|a|b|”；“”类比得到“”以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是()A1 B2 C3 D4解析：选B正确，错误2考点二在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体PABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则()A. B. C. D.解析：选D正四面体的内切球与外接球的半径之比为13，故.3考点一类型(一)两旅客坐火
8、车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是()窗口12过道345窗口6789101112131415A48,49 B62,63 C75,76 D84,85解析：选D由已知图形中座位的排序规律可知，被5除余1的数和能被5整除的座位号靠窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析选项中的4组座位号知，A、B两组座位号都不靠窗，C中两个座位没有连在一起，只有D符合条件4考点一类型(二)设n为正整数，f(n)1，计算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，观察上述结果，可推测一般的结论为_解析：f(21)，f(22)2，f(23)
9、，f(24)，归纳得f(2n)(nN*)答案：f(2n)(nN*)5考点一类型(三)蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数则f(4)_，f(n)_.解析：因为f(1)1，f(2)716，f(3)191612，所以f(4)16121837，所以f(n)1612186(n1)3n23n1.答案：373n23n1突破点(二)演绎推理基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我
10、们把这种推理称为演绎推理(2)模式：“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断(3)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 演绎推理典例数列an的前n项和记为Sn，已知a11，an1Sn(nN*)证明：(1)数列是等比数列；(2)Sn14an.证明(1)an1Sn1Sn，an1Sn，(n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn12(n1)Sn.故2，(小前提)故是以2为公比，1为首项的等比数列(结论)(大前提是等比数列的定义)(2)由(1)可知数列是等比数列，(大前提)所以4(n2)，即
11、Sn14(n1)4Sn14an(n2)又a23S13，S2a1a21344a1，(小前提)所以对于任意正整数n，都有Sn14an.(结论)方法技巧演绎推理的推证规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略，本例中，等比数列的定义在解题中是大前提，由于它是显然的，因此省略不写(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1已知函数f(x)(a0，且a1)(1)证明：函数yf(x)的图象关于点对称；(2)求f(2)f(1)f(0)f(1
12、)f(2)f(3)的值解：(1)证明：函数f(x)的定义域为全体实数，任取一点(x，y)，它关于点对称的点的坐标为(1x，1y)(大前提)由已知y，则1y1，f(1x)，(小前提)1yf(1x)，即函数yf(x)的图象关于点对称(结论)(2)由(1)知1f(x)f(1x)，即f(x)f(1x)1.f(2)f(3)1，f(1)f(2)1，f(0)f(1)1.故f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)3.2已知函数yf(x)满足：对任意a，bR，ab，都有af(a)bf(b)af(b)bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数证明：设任意x1，x2R，取x1x1f(x2)x2f(x1)，所以x1f(x1)f(x2)x2f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)(x2x1)0，因为x10，所以f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)(小前提)所以yf(x)为R上的单调增函数(结
