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1、第三章 电介质中的静电场3-1(1)将平行板电容器两极板接在电源上以维持其间电压不变，用介质常数为 的均匀r0电介质将它充满，极板上的电量为原来的几倍？电场为原来的几倍？(2) 若充电后撤掉电源，然后再加入电介质，情况如何？答：(1)极板间的电压U。保持不变，充以电介质后，电容器的电容为 ，Co为未充以电介r 0 o质以前电容器的电容。电容器极板上的电荷Q 二 CU = CU = Qo r o o r 0电荷增加为原来的电荷的 倍，电容器内的电场强度 rE = Uod保持不变。(2)极板上的电荷Q保持不变，加入电介质后，电容器的电容为 c，极板间的电压o r 0U =o = o C r较原来的
2、电压小，电场强度U_ U EE 4 od d rr较原来的电场小。3-2如图3-2图所示，平行板电容器的极板面积为S,间距为d。试问：(1) 将电容器接在电源上，插入厚度为d/2的均匀电介质板(图a)介质内外电场之比为多少？ 它们和插入电介质之前电场之比为多少？(2) 在问题(1)中，若充电后撤去电源，再插入电介质板，情况如何？(3) 将电容器接在电源上，插入面积为S/2的均匀电介质板(图b),介质内外电场之比为多少？ 它们和未插入电介质之前电场之比为多少？(4) 在问题(3)中，若充电后撤去电源，再插入电介质板，情况如何？(5) 图(a) (b)中电容器的电容各为真空时的几倍？ 以上各问题中
3、都设电介质的介电常数为 。ro答：(1)电容器的电压U保持不变。设充入电介质后电介质内的电场强度为E1，介质外的电场 o1强度为 E ，则2U = U + U = 1 Ed +1E do 122 12 21 ( D D ) 一 一+ 2 ( 8 8 丿Ddo 1(8+8 o2(88 丿o2ee U2eeD =o_=4 E +8 )d8+80002808 8 + 80D28=08 8 + 8E2821 = 0=E 8 + 88 + 1o0E28282 = =1-E 8 + 88 + 1o0(2)电容器极板上的电荷保持不变，D保持不变，设介质中的电场强度为E,介质外的电场强 度为 E2，(0 D
4、= 8 E )0(3)插入电介质后，电容器极板间的电压保持不变，与电介质相对的那一部分极板的自由电荷 增加。设介质内外的电场强度为E、E2，充入电介质以前的电场强度为E0,则E d = U10E d = U20E d = U00E = E = E120题 3-2 图(4，电容器极板上的总电荷保持不变。充入介质以后，极板上的电荷分布发生变化，有介质的 部份极板上的电荷密度增大。无介质部份电荷密度减小，结果电容器极板间的电压降低。设电容器极板右半部的电荷密度为J左半部的电荷密度O充电介质以前电荷密度为JO因为极板上的总电荷不变，)=Sq20Q +G12= 2Q0_ U1)Q而 E = 118Q80
5、.Q =812)由(1)，(2)式解得Q=22Q08 + 1r28 Qr_0+ 1E12E08 + 1rE1E0E2E 8 +10r5)(1) , (2)的结果可以算出图3-2a中的电容等于两个电容器C1与C2串联的总电容C = 281C = 2C20C C28C =1_2 =1CC + C 8 +1 012 rC 0为充入电介质以前电容器的电容。由，的结果都可以算出图3-2 (b)中的电容等于两个电容器C：、C2并联后的总电容。C1=2 CoC = -8 c2 2 r 0总电容C = C + C12=-(8 + it。2 r 0高度3-3平行板电容器两板上自由电荷密度分别为-Q 0、+Q 0
6、。今在其中放一半径为r、 ee为h的园柱形介质（介电常数为）,其轴与板面垂直。术在下列两种情况下园柱介质中点的场强E 和电位移矢量 D 。（1）细长园柱，hr；（2）扁平园柱，hVVr。答：（1）电介质柱放入电容器中后，电场使电介质极化，由于E的方向与介质柱的轴线方向平0行，只有介质柱的上下底面的出现束缚电荷。因为hr，介质柱的上下底面很小，而束缚电荷QAS很小，而且离介质柱的中点较远，所以Qq所产生的电场E与外加电场E相比很小，P eP P 0可以略而不计，所以，介质柱中点的场强E = E E = E = eo0 0 0 0cD = E = e0r 0 0= cr e0 由电场强度的切向边值
7、关系也可以得出以上的结果。在介质柱的表面E二E ,E、为介质柱面外的电场沿轴线方向的分量，E为介质柱面以内电场强度沿轴线 1t2 t 1t2 t方向的分量。0 E = E = E11t0c/. E = E = E = e022 t0 0（2）在这种情况下，介质柱上下底的束缚电荷不能忽略。可以把这园柱的上下底面看作无穷大 的两个平面，束缚电荷在这两个面之间所产生的电场E二二丄（ 1）E，E为介质中的电场强度，而介质中点的电场强度又等于 0 r00E = E E = E （ 1）E0 0 r/. E = E0rEcE = O = e0r介质中的电位移矢量D = E c 。r 0e 0由 D 矢量的
8、法向分量的边值关系亦可得出以上关系，0 D D ， D 与 D 是柱底面内外的 D 矢量沿轴线方向上的分量。由于 D 与轴线平行，1n2 n2 n1nD = D1n1D = D2 n23-4 在均匀极化的电介质中挖去一半径为 r 高度为 h 的园柱形空穴，其轴线平行于极化强度矢量Po求下列两种情况下空穴中点A处的场强Ea和电位移矢量DA与介质中E、D的关系。(1) 细长空穴，hr图(a)(2) 扁平空穴，hVVr图(b)答：(1)与上题材分析相同，束缚电荷的场可以忽略。EA二0题 3-4 图=E+Er=E0 p =8 G - 1）E0rE = E = A8- 1 丿0rPD =8 E =A 0
9、 A 8 -1r8pD = 8 8 E =r= 8 Dr 0 8 -1 r Ar（2）空腔上下底的束缚电荷在中点 A 产生的场可视为无限大均匀带电平面的场，由高斯定理及D = 8E 可得D = D = 8 8 E ,Ar 0WE=81耳0rDpE =A =f丿=8 EA 88 V8 -1 丿r00 r3-5 正电荷受两种不同的介质包围着，图 3-5 中的力线是 E 线还是 D 线？通过两个球面的电位 移矢量的通量是否相同？答：电场的高斯定律为J D - dS = qs0J E dS=纟0q0为高斯面所包围的自由电荷，q为高斯面包围的总电荷，q=q0+ q, q为束缚电荷。由高斯定律可以看出，D
10、线的源为自由电荷，E线的源为总电荷。由于介质极化，介质的表面 有束缚电荷，而图3-5所示的力线连续地通过介质表面，其源为自由电荷q，所以为D线。0如果把高斯定律应用在介质分界面上，则可以得出介质分界面上的边值关系D二D (介面上无自由电荷)1n2 n及E =E =， b为界面上的面电荷密度。2 n1n c由以上关系进一步看出D线在介质分界面连续，E线在介质分界面不连续，故图中所示的力线 是D线。由于通过分界面D线连续，通过两个球面的电位移线的通量相同。3-6 把带电的金属球浸入煤油中，此球的电荷是否改变？ 答：煤油是电介质，带电导体浸入煤油中，导体上的自由电荷保持不变，导体与煤油的接触面 出现
11、束缚电荷，其符号与导体上自由电荷的符号相反。3-7 在电场中的电介质极化后，先把它分截开为两半，然后撤去电场，问这两个半截的电介质 是否带电？答：两半截电介质都不带电。因为在极化过程中出现的束缚电荷是由于分子电偶极子转向或分 子正负电荷中心作微小位移的结果。分截为两半时截面上又会出现束缚电荷，但每一块电介质净电 荷为零，当电场撤消后，有极分子重新处于无规则分布，无极分子的正负电荷中心重合，束缚电荷 消失。3-8 有两块一样的平板，上下水平放置，相距很近，带上等量的异号电荷，下面的平板浮在液 态电介质的表面上。问两板所受到的静电力是否相同？如何解释？11答：如果不考虑边缘效应，极板A和极板B所受
12、的静电力F =只q E , F =怎q E，q为A 2 A A B 2 B B A上面极板所带的电荷，q为下面极板所带的电荷，电容器内，电场的分布均匀，如图3-8 (a)所示，B因为q =-q ， E二E，所以两板所受的力大小相等。A B A B如果考虑边缘效应，电场的分布如3-8 (b)图所示。B板的内表面上的电荷所受的静电力与A 板的内表面上的电荷所受的静电力的大小相等。A、B两板的外表面所带的自由电荷的大小相等，但 由于介质的极化，B板外表面的场强较小，所以A板外表面电荷所受的力较B板外表面电荷受的力 大，极板A和B受的静电力为内外表面电荷所受的力的矢量和，由于电荷分布的对称性，二极板所
13、 受的静电力垂直于板面，而且内外表面所受的静电力方向相反，所以，B板所受的静电力较大。3-9以E表示真空中的电场强度，E表示介质中的电场强度，D表示电位移矢量，采用MKSA 0单位制。1）2）3）在什么情况下D = E = E0 0 0在什么情况下 D=eE且D= E00在什么情况下 DheE 且Dhe E00答：（1）由D = 0E + P，在真空中pEO=pEO0=pPpD2）各向同性介质均匀充满电场或介质表面是等位面时，rpEgD = E = 0 = Er 0 0 0r（3）各向异性电介质， P 与 E 的方向一般说来不相同，极化率为张量，所以DheE,且Dph00铁电物质， 随 E 而变化， 不再是常量E 和 P 之间无单值关系，所以Dph003-10 能否让电介质带上自由电荷？能否让导体带上束缚电荷？ 答：物体带自由电荷，即是物体或物体的一部分得到或失去电子，对于电介质来说，在一定的 条件下可以带上自由电荷，如摩擦起电便是大家所熟知的例子。物体带束缚电荷是被束缚着的、不能作宏观移动的电偶极子在电场的作用下有序化分布或正负 电荷中心发生微小位移，使电介质内部或表面有正负电荷的堆积。所以出现束缚电荷的条件是物质 内部存在电偶极子和电场，对于静电场中的导体来说，其内部的电场处处零，所以不能出束缚电荷
