第四章习题解答

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1、胡寿松自动控制原理习题解答第四章4-1 设单位反馈控制系统的开环传递函数K 1G(s) =s + 1试用解析法绘出 K 从零变到无穷时的闭环根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上：（）， （）， （） 解： 有一个极点：（1），没有零点。根轨迹如图中红线所示。（）点在根轨迹上，而（）， （）点不在根轨迹上。4-2 设单位反馈控制系统的开环传递函数K(3s + 1)G(s) =s(2s + 1)试用解析法绘出开环增益 K 从零增加到无穷时的闭环根轨迹图。解：系统开环传递函数为 G(s) = 3K/ 2(s + 1/ 3) =K g (s + 1/ 3)s(s + 1/ 2)s(s + 1 / 2)

2、有两个极点：（0），（1/2），有一个零点（-1/3，j0）。根轨迹如图中红线所示。4-3 已知开环零、极点分布如图 4-28 所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。图 4-28开环零、极点分布图4-4 设单位反馈控制系统开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图(要求确定分离点坐标 d)：(1)G(s) =Ks(0.2s + 1)(0.5s + 1)解：系统开环传递函数为 G(s) =10K=K gs(s + 5)(s + 2)s(s + 5)(s + 2)有三个极点：（0），（2），（5）没有零点。分离点坐标计算如下：1 +1+dd + 21= 0d + 513d 2 + 14d + 1

3、0 = 0 解方程的 d= 3.7863 ， d 2= 0.88取分离点为 d = 0.88根轨迹如图中红线所示。（2）G(s) =K (s + 1)s(2s + 1)解：系统开环传递函数为 G(s) =K / 2(s + 1) =K g (s + 1)s(s + 0.5)s(s + 0.5)有两个极点：（0），（0.5），有一个零点（1）。分离点坐标计算如下：1 +1=dd + 0.51d + 11d 2 + 2d + 0.5 = 0 解方程的 d= 1.7 ， d 2= 0.29取分离点为 d1 = 1.7 ， d 2 = 0.29根轨迹如图中红线所示。(3)G(s) =K * (s +

4、5)s(s + 2)(s + 3)解：系统开环传递函数为 G(s) =K * (s + 5)s(s + 2)(s + 3)有三个极点：（0），（2），（2），有一个零点（5）。分离点坐标计算如下：1 +1+dd + 21=d + 31d + 5d 3 + 10d 2 + 25d + 15 = 0解 方程的 d1= 6.5171 ，d 2 = 2.5964 ， d 3 = 0.8865取分离点为 d= 0.8865根轨迹如图中红线所示。4-5 已知单位反馈控制系统开环传递函数如下，试概略画出相应的闭环根轨迹图(要求算出起始角 pi )：（）G(s) =K (s + 2)(s + 1 + j 2)

5、(s + 1 j 2)解：系统开环传递函数为 G(s) =K (s + 2)K g (s + 2)(s + 1 + j 2)(s + 1 j2) (s + 1 + j 2)(s + 1 j2)有两个极点： p1 = （-12）， p2 = （1-2），有一个零点（2，）。起始角： mnp i = (2k + 1) + z j pi pi pi k = 0,1,2,L j =1j =1( j i ) p1= + z1 p1 p2 p1= 1800 + 450 900 = 1350 p2= + z1 p2 p1 p2= 1800 450 + 900 = 2250根轨迹如图中红线所示。（）G(s)

6、=K (s + 20)。s(s + 10 + j10)(s + 10 j10)解：系统开环传递函数为 G(s) =K (s + 20)s(s + 10 + j10)(s + 10 j10)有三个极点：p1 =（0，j0），p2 =（-1010），p3 =（10-10），有一个零点 z1 =（20，）。 起始角： mnp i = (2k + 1) + z j pi pi pi k = 0,1,2,L j =1j =1( j i ) p1= 1800 p2= 1800 + z1 p2 p1 p2 p3 p2= 1800 + 450 1350 900 = 00 p3= 1800 + z1 p3 p1

7、 p3 p2 p3= 1800 450 + 1350 + 900 = 00根轨迹如图中红线所示。Im-20-10j10Re04-6 设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，要求：K (1) 确定G(s) =s(s + 1)(s + 10)产生纯虚根的开环增益值。解：系统特征方程为 s 3 + 11s 2 + 10s + K * = 0令 s =j 代入特征方程中得：实部方程为： K * 11 2 = 0虚部方程为：10 3 = 0解上述方程得： 2 = 10K * = 110开环增益按一般定义： K = K * /10 = 11(2) 确定G(s) =K (s + z)s 2 (s + 10)(

8、s + 20)产生纯虚根为1 的值和 K 值。解：系统特征方程为 s 4 + 30s 3 + 200s 2 + K * s + K * z = 0令 s =j1 代入特征方程中得：实部方程为： K * z + 1 200 = 0虚部方程为： K * 30 = 0解上述方程得： K * = 30z = 199 / 30（3）概略绘出确定G(s) = K的闭环根轨迹图。（要s(s + 1)(s + 3.5)(s + 3 + j 2)(s + 3 j 2)求确定根轨迹的分离点、起始角和与虚轴的交点）。解：系统开环传递函数为 G(s) = Ks(s + 1)(s + 3.5)(s + 3 + j 2)

9、(s + 3 j 2)有五个极点： p1 = （0，j0）， p2 = （-1，0）， p3 = （3.5，0）， p4 = （3，2），p5 = （3，-2），没有零点。分离点坐标计算如下：1 +1+dd + 11+d + 3.51+d + 3. + j 21= 0d + 3. j 24d 4 + 35d 3 + 111.5d 2 + 146d + 45.5 = 0解 方 程 的d1 = 3.5， d 2= 0.44 ，d 3 = 2.4 + j1.265d 4 = 2.4 j1.265取分离点为 d= 0.44起始角： mnp i = (2k + 1) + z j pi pi pi k =

10、 0,1,2,L j =1j =1( j i ) p1= 1800 p2= 00 p3= 1800 p1 p3 p2 p3 p4 p3 p5 p3= 1800 146.450 1350 900 75.7 = 930 p4= 1800 p1 p4 p2 p 4 p3 p4 p5 p3= 1800 + 146.450 + 1350 + 900 + 75.7 = 930根轨迹如图所示。与虚轴的交点：令 s =j 代入特征方程中s 5 + 10.5s 4 + 43.5s 3 + 79.5s 2 + 45.5s + K * = 0得到：实部方程为：10.5 4 79.5 2 + K * = 0虚部方程为： 5 43.5 3 + 45.5 = 0*解方程得到：1 = 6.5136 2 = 1.0356 ，将1 = 6.5136 代入实部方程得到 K 0 不*符合要求，将 2 = 1.0356 代入实部方程得到 K