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1、细说矩形折叠题为了考察同窗们的数行结合思想的运用和空间想象能力,近年来中考中浮现众多的折叠问题。解决此类问题的核心是要根据轴对称图形的性质，弄清折叠前后哪些量变了，哪些量没变，折叠前后图形之间的关系以及哪些条件可以用。下面分类阐明矩形中折叠问题的求解方略。一、折叠后求长度ABCDFEOABCD图2图1例、将矩形纸片ABC按如图所示的方式折叠，得到菱形AE若3，则BC的长为（ ）1 B.2C. .解析:由对称的性质，易得C=CO，则四边形F为菱形,则AC=2O，因此AC=2BC，又四边形AB是矩形，因此B=90,则在RtABC中,由勾股定理，得C2-BC2AB2,因此BC2=9,则BC。因此边B
2、C的长是厘米。评注：本题在应用矩形和菱形的性质的同步，充足运用了对称的性质和勾股定理等知识,既考察了同窗们的空间想象能力，同步考察同窗们综合运用知识的能力。二、折叠后求角度例2、将矩形纸片ABC（图1）按如下环节操作:()以过点A的直线为折痕折叠纸片，使点B正好落在A边上，折痕与B边交于点E（如图3-）;（2）以过点E的直线为折痕折叠纸片，使点A落在B边上，折痕F交A边于点(如图3-）;(3）将纸片收展平，那么E的度数为（ ） 图3-1 图3-2 图3-3(）60 （）7.5 (C)7 （D）75解析：解决本题的核心是要能想象出折叠的整个过程,或动手操作展示折叠过程,然后运用轴对称的性质进行求
3、解。如图-2的虚线就是折叠的过程,在第一次折叠时，可得BAE=EA5,再由第二次折叠,可得E1EAF,AFEEFA1AFA1，又由于在矩形ABD中,由于B,EAF+AFA1=180，因此AFA115，因此AF=6.5。故选B。评注：本题对动手操作能力和空间想象能力规定较高,由于是持续折叠，因此想象有点困难，解决问题的最佳措施就是动手操作后，再画出折痕,明确折叠前后的图形，找出它们之间的关系（如角之间的关系），然后充足运用这些关系求解。三、折叠后判形状例3、如图4，把一张长方形纸片对折,折痕为AB，再以A的中点O为顶点把平角AO三等分,沿平角的三等分线折叠,将折叠后的图形剪出一种以O为顶点的等腰
4、三角形，那么剪出的等腰三角形所有展开铺平后得到的平面图形一定是图4正三角形 B正方形 C.正五边形 D正六边形解析:最简朴的措施就是取一张纸动手操作一下,即拿一张纸片,按照已知的环节折叠，然后剪出图形,展开后，就会发现图形是正六边形。其实也不难想象，一方面对折一次，然后又提成三份折叠，显然是六份，因此选D。评注:“折纸判形状”始终是考试的热点，重要考察同窗们的动手操作能力,和活跃考试氛围。通过实践获得知识比直接听讲获得知识的效果好,解决问题最可靠的措施就是动手操作。四、折叠后探规律例4、如图,把矩形纸片沿折叠,使点落在边上的点处，点落在点处(）阐明:；ABCDFE图2（2）设，试猜想之间有何等
5、量关系,并予以证明解析:由题意得,在矩形中,，. （2）由于AE,A=b,在RBE中,在可猜想之间存在关系：下面只需阐明B=E即可。 由题意知,由(1）知在中,。评注:在折叠中，常常会浮现角相等,而矩形中又有对边平行的条件,这两者结合就会浮现等腰三角形，充足运用这一特性，可以协助我们顺利解决问题。折叠矩形中的计算 折叠矩形中此类计算，形式多样，新颖独特，有助于考察同窗们的空间想象能力和动手操作能力。解决此类问题应把握两点:折叠前后折痕(即对称轴)两侧的图形是全等图形;折叠前后相应点的连线被折痕(（即对称轴)垂直平分。解决此类问题的基本措施是运用勾股定理构建方程。下面将有关的计算进行归纳整顿，供
6、同窗们参照。一、 角度的计算例、如图1，把矩形BCD沿EF对折，若=50,求AF的度数。分析:由于E为折痕，因此它就是对称轴，由此可得,相应角FE=2，运用的度数求出BFE的度数,再运用ADC，就可求出AEF的度数。解:由题意得,相应角BE=2 1=0 E=2=又四边形ABCD为矩形 ADBC 答：AE的度数为1150。二、边长的计算例、如图2，沿折痕AE折叠矩形ABD的一边，使点D落在BC边上一点F处。若=8，且ABF的面积为2，求E的长。分析：由于折痕AE是对称轴，因此AEAE，此时ADAF，DE=FE。先运用ABF的面积求出BF的长，再运用勾股定理求出AF的长，然后在REC中,运用勾股定
7、理就构建起方程，从而求出EC的长。解：由题意可得AEFAED, D=FE，AD=AF=BCBF的面积为4 即 解得，F=在RtBF中, CF=BBF设Cx, 则DEEF=DC-DE=x 在RtEF中， F=C2EC2 即(8x） =2+x2 解得x=3答:EC的长是3。例3、如图,是一矩形的纸片，其中AD=.5，=1.。按下列环节折叠:将其对折,使A落在D上,折痕为AE,再将BE以E为折痕向右折叠,E与DC交于点F，则CF的长是( )A05 B.0.7 C.1 1.25解析:第一次折叠,AE为折痕,因此可得AB=BE=1.5,=E=1,即ABE为等腰直角三角形,得到AEB=50;第二次折叠，B
8、为折痕,得到CEF=450,因此CEF为等腰直角三角形，于是可得C=C=1。故选C三、折痕的计算例4、有一矩形纸片，其中宽AB6c,长BC=c。现按如图4所示的措施作折纸游戏,将它折叠使点与D点重叠,求折痕EF的长。点拨:本题中折痕F为对称轴，点与点为相应点。若连结BD,则BD被F垂直平分,可得BOD，进而证得OE=OF。在RtAB中，运用勾股定理建立起方程,求出BE的长，再在RtBO中,运用勾股定理就可求出O的长。解：连结B交EF于O点，连结BEEF为对称轴,点B与点D为相应点 EF垂直平分B，=OD，DE=BE,由此可得， DOEBOF OE=O设DE=xcm，则AE=DDE(-x)cm在
9、RB中，BE=ABAE2 2=62+（8x)2 解得，x=在RtABD中, ,OB=在BEO中, EF=2O=答:折痕E的长是。四、面积的计算例5、如图5,将矩形ABD沿着对角线BD折叠，使点C落在点处,交D于E。已知AD=8，AB=4，求DE的面积。分析：由于A=0,因此BDE的面积=,B的长已知,求DE的长就是本题的突破口了。根据折叠的特性可得，进而可证得DE为等腰三角形,得到BE=DE,在Rt中，运用勾股定理建立方程,就可求出E的长。解：由题意可知DCBD=0 又DC 1=3 3 即EB=E在RDE中, 设DEx， 则 即 解得x5BDE的面积=答:BDE的面积是1。实战练习:1、如图1
10、,是一矩形纸片ACD中，AD=cm,A1m，现作折纸游戏，使点与点重叠，折痕为F，求D的长。、在矩形ABCD中,A6，BC=8,将矩形ABC沿CE折叠，使点D正好落在对角线AC上的点处。求的长;求梯形ABE的面积.参照答案1、.8m。点拨：折痕F为对称轴，点B与点是相应点,因此D=B。在RADE中，设Dx m,则E（0-x ）c，根据勾股定理得,=2(1x），解得x.8(m）；2、E3;梯形ABCE的面积是9。提示：设EF=x,由题意得,CCFE,DE=EF，C=6。在ABC中,，F=-CF=4 AE=AD-DE=8-x在RAEF中，E2=F2+E2 (8x）2 = 4+ 2 解得=3AE=8-3=
