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1、静安区2012学年高三年级第一学期期末教学质量检测数学试卷（理科） （试卷满分150分 考试时间120分钟） 2013.1一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1已知函数的最小正周期为，则正实数= .2等比数列（）中，若，则 .3两条直线和的夹角大小为 .4设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 .5某旅游团要从8个风景点中选两个风景点作为当天上午的游览地，在甲和乙两个风景点中至少需选一个，不考虑游览顺序，共有 种游览选择6求和：= .（）7设数列满足当（）成立时，总
2、可以推出成立下列四个命题：（1）若，则理第9题（2）若，则（3）若，则（4）若，则其中正确的命题是 .（填写你认为正确的所有命题序号）8已知曲线的极坐标方程为若以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），则此直线被曲线截得的线段长度为 .9请写出如图的算法流程图输出的S值 .OBC北南ANS理第11题10已知、为锐角，且，则= .11机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”如图所示，“海宝”从圆心出发，先沿北偏西方向行走13米至点处，再沿正南方向行走14米至点处，最后沿正东方向行走至点处，点、都在圆上则在以圆心为坐标原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正
3、方向的直角坐标系中圆的方程为 .12过定点作直线交轴于Q点，过Q点作交轴于T点，延长TQ至P点，使，则P点的轨迹方程是 .13已知直线（其中为实数）过定点，点在函数的图像上，则连线的斜率的取值范围是 .14在复平面内，设点A、P所对应的复数分别为、（为虚数单位），则当由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积是 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15若复数，则是成立的（ ）(A) 充要条件 (B) 既不充分又不必要条件 (C) 充分不必要条件 (D) 必要不充分条件16等差数列中，已
4、知，且，则数列前项和（）中最小的是（ ）(A) 或 (B) (C) (D)17函数的值域为（ ）(A) (B) (C) (D) 18已知是外接圆的圆心，、为的内角，若，则的值为 （ ）(A) 1 (B) (C) (D) 三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .EABGNDMC（理19题）19（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分5分某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点EM
5、N是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆 （1）设MN与AB之间的距离为米，试将EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数； （2）求EMN的面积S（平方米）的最大值20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分已知a，b，c分别为三个内角、所对的边长，a，b，c成等比数列（1）求B的取值范围；（2）若x = B，关于x的不等式cos2x-4sin()sin()+m0恒成立，求实数m的取值范围21（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知数列的各项均为非零实数
6、，且对于任意的正整数，都有（1）当时，求所有满足条件的三项组成的数列、；（2）试求出数列的任一项与它的前一项间的递推关系.是否存在满足条件的无穷数列，使得？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由22（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分已知椭圆的两个焦点为、，是与的等差中项，其中、都是正数，过点和的直线与原点的距离为（1）求椭圆的方程；（2）点是椭圆上一动点，定点，求面积的最大值；（3）已知定点，直线与椭圆交于、相异两点证明：对任意的，都存在实数，使得以线段为直径的圆过点23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分
7、4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分函数，其中若对任意，则称在内为对等函数（1）指出函数，在其定义域内哪些为对等函数；（2）试研究对数函数（且）在其定义域内是否是对等函数？若是，请说明理由；若不是，试给出其定义域的一个非空子集，使在所给集合内成为对等函数；（3）若，在内为对等函数，试研究（）的奇偶性上海市静安区2013届高三一模数学试题（理科）参考答案说明 1.本解答列出试题的一种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分. 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后
8、的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分. 3.第19题至第23题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数. 4.给分或扣分均以1分为单位.答案及评分标准1； 264； 3 ； 4； 513； 6；7（2）（3）（4）； 84； 9； 101； 11； 12； ENGDMABC图113； 14；.15 D； 16C； 17A ；18 B 19解：（1）如图1所示，当MN在矩形区域滑动，即0x1时， EMN的面积S=；1分EABGNDMC图2HF如图2所示，当MN在三角形区域滑
9、动，即1x时，如图，连接EG，交CD于点F，交MN于点H， E为AB中点， F为CD中点，GFCD，且FG.又 MNCD， MNGDCG ，即4分故EMN的面积S； 6分综合可得： 7分（2）当MN在矩形区域滑动时，所以有；8分当MN在三角形区域滑动时，S=.因而，当（米）时，S得到最大值，最大值S=（平方米）. ， S有最大值，最大值为平方米. 12分20解：（1）a、b、c成等比数列，b2=ac1分则cosB=3分而a2+c22accosB=，等号当且仅当a=c时取得，即cosB1，得到7分（2）cos2x-4sin()sin()=cos2x-4sin()cos()=2cosx2-2cos
10、x-1=2(cosx-)2-11分x=Bcosx12(cosx-)2-则由题意有：-m-即m14分（说明：这样分离变量参照评分）21解：（1）当时，由得1分当时，由得或当时，若得或；若得；5分综上讨论，满足条件的数列有三个：1，2，3或1，2，-2或1，-1，16分（2）令，则（）从而7分两式相减，结合，得8分当时，由（1）知；当时，=，即，所以或12分又，所以无穷数列的前2012项组成首项和公差均为1的等差数列，从第2013项开始组成首项为-2012，公比为-1的等比数列故14分（说明：本题用余弦定理，或者正弦定理余弦定理共同使用也可解得，请参照评分）22解：（1）在椭圆中，由已知得1分过点
11、和的直线方程为，即，该直线与原点的距离为，由点到直线的距离公式得：3分解得：；所以椭圆方程为4分（2），直线的方程为，当椭圆上的点到直线距离最大时，面积取得最大值6分设与直线平行的直线方程为，将其代入椭圆方程得：，即，解得，当时，椭圆上的点到直线距离最大为，此时面积为9分（3）将代入椭圆方程，得，由直线与椭圆有两个交点，所以，解得11分设、，则，因为以为直径的圆过点，所以，即，13分而=，所以，解得14分如果对任意的都成立，则存在，使得以线段为直径的圆过点，即所以，对任意的，都存在，使得以线段为直径的圆过点16分23解：（1），是对等函数；4分（2）研究对数函数，其定义域为，所以，又，所以当且
12、仅当时成立所以对数函数在其定义域内不是对等函数6分当时，若，则，此时是对等函数；当时，若，则，此时是对等函数；总之，当时，在及其任意非空子集内是对等函数；当时，在及其任意非空子集内是对等函数10分（3）对任意，讨论与的关系1）若不关于原点对称，如虽是对等函数，但不是奇函数或偶函数；11分2）若，则当时，既是奇函数又是偶函数；当时，是偶函数13分3）以下均在关于原点对称的假设下讨论当时，；当时，若，则有；此时，当时，令，则，且，由前面讨论知，从而；综上讨论，当时，若，则是偶函数15分若当时，则；此时，当时，令，则，且，由前面讨论知，从而；若，则对任意，都有综上讨论，若当时，且，则是奇函数若，则不是奇函数也不是偶函数18分
