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1、精品数学高考复习资料第3讲函数的奇偶性及周期性基础巩固1.对于定义在R上的任一奇函数f(x),均有()A.f(x)f(-x)0B.f(x)-f(-x)0C.f(x)f(-x)0D.f(x)-f(-x)0答案:A解析:f(-x)=-f(x),f(x)f(-x)=-f2(x)0.2.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是()y=f(|x|);y=f(-x);y=xf(x);y=f(x)+x.A.B.C.D.答案:D解析:由奇函数的定义验证可知正确.3.在R上定义的函数f(x)是偶函数,且f(x)=f(2-x),若f(x)在区间1,2上是减函数,则f(x)()A.在区间-2,
2、-1上是增函数,在区间3,4上是增函数B.在区间-2,-1上是增函数,在区间3,4上是减函数C.在区间-2,-1上是减函数,在区间3,4上是增函数D.在区间-2,-1上是减函数,在区间3,4上是减函数答案:B解析:由f(x)=f(2-x)知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,作出函数的简图如下.由图象易知应选B.4.(2014届湖北孝感统考)设f(x)是周期为2的奇函数,当0x1时,f(x)=2x(1-x),则f=()A.-B.-C.D.答案:A解析:由题意得f=-f=-f=-f=-=-.5.已知f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),则f(2
3、013)+f(2 015)的值为()A.-1B.1C.0D.无法计算答案:C解析:由题意,得g(-x)=f(-x-1),又f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,g(-x)=-g(x),f(-x)=f(x),f(x-1)=-f(x+1).f(x)=-f(x+2).f(x)=f(x+4).f(x)的周期为4.f(2 013)=f(1),f(2 015)=f(3)=f(-1).又f(1)=f(-1)=g(0)=0,f(2 013)+f(2 015)=0.6.设函数f(x)满足:y=f(x+1)是偶函数;在1,+)上为增函数,则f(-1)与f(2)的大小关系是()A.f(-1)f
4、(2)B.f(-1)f(2),即f(-1)f(2).7.奇函数f(x)在(0,+)上为增函数,且f(1)=0,则不等式0的解集为()来源:A.(-1,0)(1,+)B.(-,-1)(0,1)C.(-,-1)(1,+)D.(-1,0)(0,1)答案:D解析:f(x)为奇函数,不等式0可化为xf(x)0.f(x)在(0,+)上为增函数,且f(1)=0,来源:当0x1时,f(x)1时,f(x)0.又f(x)为奇函数,当-1x0.当x-1时,f(x)0.不等式xf(x)0的解集为0x1或-1x0时,f(x)=+1,则当x0时,f(x)=+1,当x0,f(x)=-f(-x)=-(+1),即x0时,f(x
5、)=-(+1)=-1.10.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的xR恒有f(x+1)=f(x-1).已知当x0,1时,f(x)=,则2是函数f(x)的周期;函数f(x)在区间(1,2)上递减,在区间(2,3)上递增;函数f(x)的最大值是1,最小值是0;当x(3,4)时,f(x)=.其中所有正确命题的序号是.答案:解析:由已知条件可得f(x+2)=f(x),即y=f(x)是以2为周期的周期函数,正确;当-1x0时,0-x1,f(x)=f(-x)=,函数y=f(x)的图象如图所示:来源:当3x4时,-1x-40,f(x)=f(x-4)=,因此正确,不正确.11.已知函数f(x)=是奇函
6、数.(1)求实数m的值;(2)若函数f(x)在区间-1,a-2上单调递增,求实数a的取值范围.解:(1)设x0,所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x).于是x0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以m=2.(2)要使f(x)在-1,a-2上单调递增,结合f(x)的图象(图略)知所以1a3.故实数a的取值范围是(1,3.12.函数f(x)=是定义在区间(-1,1)上的奇函数,且f.(1)确定函数f(x)的解析式;(2)用定义证明f(x)在区间(-1,1)上是增函数;(3)解不等式f(t-1)+f(t)0.解:(1)依题意得即解得
7、故f(x)=.(2)证明:任取-1x1x21,f(x1)-f(x2)=.-1x1x21,x1-x20,1+0.又-1x1x20.从而f(x1)-f(x2)0.故f(x)在区间(-1,1)上是增函数.来源:(3)f(t-1)-f(t)=f(-t).f(x)在区间(-1,1)上是增函数,-1t-1-t1,解得0t0),由f(1)+f(4)=0,得a(1-2)2-5+a(4-2)2-5=0,解得a=2,故f(x)=2(x-2)2-5(1x4).(3)y=f(x)(-1x1)是奇函数,f(0)=0.又知y=f(x)在0,1上是一次函数,可设f(x)=kx(0x1),f(1)=2(1-2)2-5=-3,
8、k=-3.当0x1时,f(x)=-3x.从而当-1x0时,f(x)=-f(-x)=-3x,故-1x1时,f(x)=-3x.当4x6时,有-1x-51,f(x)=f(x-5)=-3(x-5)=-3x+15.当6x9时,10时,f(x)1.(1)求证:g(x)=f(x)-1为奇函数;(2)求证:f(x)是R上的增函数;(3)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)3.解:(1)证明:定义在R上的函数f(x)对任意的x1,x2R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1成立,令x1=x2=0,则f(0+0)=f(0)+f(0)-1,即f(0)=1.令x1=x,x2=-x,则f(x-x)=
9、f(x)+f(-x)-1,即f(x)-1+f(-x)-1=0.故g(x)=f(x)-1为奇函数.(2)证明:由(1)知,g(x)=f(x)-1为奇函数,来源:则f(-x)-1=-f(x)-1.任取x1,x2R,且x10,f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1,f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1=f(x2)-f(x1)-1=f(x2)-f(x1)+1.当x0时,f(x)1,f(x2-x1)=f(x2)-f(x1)+11,即f(x1)f(x2).故f(x)是R上的增函数.(3)f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1,且f(4)=5,f(4)=f(2)+f(2)-1f(2)=3.由不等式f(3m2-m-2)3,得f(3m2-m-2)f(2),由(2)知,f(x)是R上的增函数,从而3m2-m-22,即3m2-m-40.-1m.故不等式f(3m2-m-2)3的解集为.精品备战高考复习题精品备战高考复习题
