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1、 本科毕业论文设计 题 目 二维双曲线型方程的交替方向隐格式解法 院系 数学系 专 业 数学与应用数学 学生姓名 周玲玲 学 号 10022156 指导教师 陈淼超 职称 讲师 论文字数 9500 完成日期: 2014年6月8日 / 巢湖学院本科毕业论文(设计)诚信承诺书本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文(设计)，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要奉献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承当。本人签名： 日期： 巢湖学院本科毕业论文
2、(设计)使用授权说明本人完全了解巢湖学院有关收集、保存和使用毕业论文 (设计)的规定，即：本科生在校期间进行毕业论文(设计)工作的知识产权单位属巢湖学院。学校根据需要，有权保存并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许毕业论文 (设计)被查阅和借阅；学校可以将毕业论文(设计)的全部或局部内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编毕业，并且本人电子文档和纸质论文的内容相一致。保密的毕业论文(设计)在解密后遵守此规定。本人签名： 日期： 导师签名： 日期： 巢湖学院2013届本科毕业论文设计二维双曲型方程的交替方向隐格式解法摘要在解决偏微分方程中二维双曲线型
3、方程的问题求解初边值问题时，显示格式的稳定性是有条件的，并且多维的稳定性条件更严，为得到稳定性好的格式，隐式格式受到重视。用隐式格式求解二维问题得到的线性方程组其系数矩阵为宽带状，因此求解不甚便利，采用交替方向隐式ADI格式可以防止此问题。本文以根本概念和根本方法为主，同时结合算例实现算法。第一局部介绍二维双曲线型方程的交替方向隐格式解法的根本概念，引入本文的研究对象二维波动方程： ，第二局部介绍上述方程的二维双曲线型方程的交替方向隐格式及这种格式的存在性、收敛性与稳定性。第三局部通过算例检验二维双曲线型方程的交替方向隐格式的可行性。关键词：二维双曲型方程；交替方向隐格式；存在性；收敛性；稳定
4、性Alternating direction implicitmethod for 2-Dhyperbolic equationAbstractInsolving partialdifferential equationsto solve the two-dimensionalhyperbolicequationin theinitial boundary value problem,the stability of thedisplayformatis conditional,and the stability conditionsof multidimensionalmorestrict,
5、in order to get thegood stability of thescheme,implicitattention.Byusingimplicit scheme for solvingthe two-dimensionalproblem of linearequationswhose coefficient matrixis abroad band,thussolving thenot veryconvenient,using the alternating direction implicit(ADI)schemecanavoid this problem.In this pa
6、per,the basic concepts and basicmethod,at the same timealgorithmwith an example.The first part is the introduction oftwo dimensionalhyperbolicequationof alternatingdirection implicitmethodbasic concept-two-dimensional wave equation,the object of studyis introduced in this paper:,The second part intr
7、oduces theexistence and stabilityoftwo dimensionalhyperbolicequations,the convergenceof the above equationalternating direction implicit schemeandthis format.Feasibility ofalternating direction implicit schemethird part through theexamples to testtwo-dimensionalhyperbolicequation. Keywords:hyperboli
8、cequation, alternating direction implicit scheme, existence, convergence, stabilityI目 录摘要IAbstractII1.前言12.差分格式的建立22.1差分格式的求解42.1.1算例63.差分格式解的先验估计式84.差分格式解的存在性、收敛性和稳定性94.1存在性94.2收敛性104.3稳定性12参考文献13致谢14附页15 巢湖学院2013届本科毕业论文设计1.前言微分方程有着广泛的自然科学与工程技术的背景，例如热传导问题，流体力学问题，波动问题都可以用微分方程来刻画。然而，实际的运用中，大局部偏微分方程的解
9、很难以解析形式表示出来，人们将研究的重心逐渐的向偏微分方程的数值解方向转移，众多科研家在研究偏微分方程的数值解方面做出了巨大的奉献， 。 变分法，有限差分法与有限元方法是目前运用最为广泛的偏微分方程的数值解法。其中，有限差分法以其 的特点被广阔研究者所认可和研究。然而，利用有限差分法在求解偏微分方程的时也会有诸多的缺乏之处，比方不同步长情况下的稳定性与精度相差很多，因此，经过几代科学家的不懈努力，众多稳定性好，精度高的差分格式被提出，比方 。在差分格式中，解决偏微分方程中二维双曲线方程的问题求解初边值问题时，显示格式的稳定性是有条件的，并且多维的稳定性条件更严，为得到稳定性好的格式，隐式格式受
10、到重视。用隐式格式求解二维问题得到的线性方程组其系数矩阵为宽带状，因此求解不甚便利，采用交替方向隐式ADI格式可以防止此问题。本文将从根本概念和根本方法入手，通过简单的二维波动方程，介绍二维双曲线型方程的交替方向隐格式解法及其简单的实际应用，起到初步介绍偏微分方程数值解法的目的。 12.差分格式的建立作为模型，考虑二维波动方程的初边值问题 5.16-1 (5.16-2), (5.16-3)其中在结点处考虑方程5.16-1.由泰勒展开式可得= (5.17-1) (5.17-2)= (5.17-3) , (5.17-4)其中 .且存在常数使得 5.18-1 5.18-2 (5.18-3) (5.1
11、8-4) (5.18-5)对定解问题5.16-1(5.16-3)建立如下差分格式= (5.19-1) (5.19-2)= (5.19-3) , (5.19-4)(5.19-4)等价于 差分格式(5.19-1) (5.19-4)的结点图式见图5.5.图5.5. 差分格式(5.19-1) (5.19-4)的结点图2.1差分格式的求解注意到=可将(5.19-1) (5.19-4)写为或=+， 5.20令，那么有+， 5.21-1=. 5.21-2当第层、第层的值时，由5.21-1求出过渡层上的值：对任意固定的，取边界条件， ， 5.22-1求解 +， ， 5.22-2得到.当已求出时，由 5.21-2求出第层上的值：对固定的，取边界条件 ， 5.23-1求解=. ， 5.23-2得到，.最后由 得到. 5.22-1和5.22-2是关于方向的隐格式，5.23-1和 5.23-2是关于方向的隐格式.它们均是三对角线性方程组，可用追赶法求解.我们把 5.21-1和5.21-2称为交替方向隐格式.2.1.1算例用交替方向隐格式5.22-1和5.22-2计算定解问题， ， ，
