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1、几何概型教学设计 哈尔滨市第五十八中学 高二学年数学备课组教学目标 一、知识与技能目标（1）通过学生对几个几何概型的实验和观察，了解几何概型的两个特点。（2）能识别实际问题中概率模型是否为几何概型。（3）会利用几何概型公式对简单的几何概型问题进行计算。二、过程与方法让学生通过对几个试验的观察分析，提炼它们共同的本质的东西，从而亲历几何概型的建构过程，并在解决问题中，给学生寻找发现、讨论交流、合作分享的机会。三、情感态度与价值观 通过设置几个具体试验，引导学生积极探索、深入思考，在几何概型建构的过程中提高他们的兴趣和爱好以及求实的科学态度，进一步体会数学对自然和社会所产生的作用。教学重点几何概型
2、的特点，几何概型的识别，几何概型的概率公式。教学难点建立合理的几何模型求解概率。教学过程与操作设计环节教学内容设置设计意图设问激疑 创设情 境启发引导 形成概 念初步运用 示例练 习讨论探究 揭示定理观察感知 例题学 习知识运用 尝试练 习反思小结 培养能力课后作业 自主学习一、创设情境 引入新课师：上节课我们共同学习了概率当中的古典概型，请同学们回想一下其中所包含的主要内容，并依据此举一个生活当中的古典概型的例子。生甲：掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率。师：请同学们判断这个例子是古典概型吗？你判断的依据是什么？生乙：是古典概型，因为此试验包含的基本事件的个数是有限个，并且每个基
3、本事件发生的可能性相等。师：非常好，下面允许老师也举一个例子，请同学们作以判断。如图:把一块木板平均分成四部分,小球随机的掉到木板上，求小球 掉在阴影区域内的概率。生丙：此试验不是古典概型，因为此试验包含的基本事件的个数有无数多个。师：非常好，此试验不是古典概型，由此我们可以看到，在我们的生活中确实存在着诸如这样的不是古典概型的实际问题，因此我们有必要对这样的问题作进一步更加深入的学习和研究。今天这节课我们在学习了古典概型的基础上再来学习几何概型。那到底什么是几何概型，它和古典概型有联系吗？在数学里又是怎样定义的呢？为此，我们接着来看刚才这个试验。试验一 师：请同学们根据我们的生活经验回答此试
4、验发生的概率是多少？生丁：四分之一师：很好，那你是怎样得到这个答案的呢？生丁：就是用阴影的面积比上总面积。师：非常好，下面我们再来看图中的右边这种情形，现在阴影的面积仍是总面积的四分之一，只不过阴影的形状及其位置发生了变化，那么此时小球落在阴影区域内的概率又是多少？生丁：仍是四分之一，还是用阴影的面积比上总面积。师：非常好，请坐。我们梳理一下我们刚才的发现。首先此试验所包含的基本事件的个数为无数多个，并且每个基本事件发生的可能性相等，而所求的概率就是用阴影的面积比上总面积，所以此概率仅与阴影的面及有关系，而与阴影的形状和位置并无关系。试验二在500ml的水中有一只草履虫，现从中随机取出ml水样
5、放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率.师：首先请同学们观察这个试验跟刚才那个试验有没有共同本质的东西。生戊：此试验所包含基本事件的个数仍是无限多个，每个基本事件发生的可能行都相等。师：所求的概率是多少？生戊：就是用取出的水样的体积比上总体积，答案是五百分之二。试验三取一根长为60厘米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不少于20厘米的概率有多大?请同学首先思考讨论，老师作以分析如下：首先此试验所包含的基本事件的个数仍是无限多个，并且每个基本事件发生的可能性都相等。现在把这根绳子抽象为一条线段，因此每做一次随机试验就可以理解为在对应这条线段上取一个点，也就是说一次随机试验就可以理解为
6、线段上的一个点，那基本事件空间就可以理解为这条线段，因此此试验的本质就是在此线段上取一个点，能够使得事件A发生，所以现在问题的关键是线段上找到可以使事件A发生的点。老师通过实物的演示帮助学生在线段上找到可以使事件A发生的点。AB20cm20cm师:通过刚才的演示我们可以发现，当取到的点在A、B之间的时候能够使得事件A发生，因此这个问题又可以理解为：在此线段上取一点当这个点在A、B之间的时候的概率是多少？生己：就是用线段AB的长度比上总长度，答案是三分之一。老师对此问题作以小结：在剪刀剪的次数可以是无限多次的情况下，通过建立等量替代关系，在“每剪一次绳子上一点”对应基础上，顺次建立“无数次随即剪
7、线段上所有点”，“剪数量线段长度”对应关系，在“数（次数）形（点）数（长度）” 转换过程中，解决无限性无法计算的问题。这样对应是内在的，逻辑的，因此建立的度量公式是合理的。二、几何概型的建构1、想一想以上三个试验共同点:所有基本事件的个数都是无限多个。每个基本事件发生的可能性都相等。三个试验的概率是怎样求得的？师：简单的说所求概率就是它们的面积之比、体积之比和长度之比，具体的说，就是把基本事件空间理解为一个区域，不妨记为，而事件A可以理解为它的一个子区域，而所求的概率就是用子区域A的几何度量（长度、面积、体积）比上区域的几何度量。我们把满足上述条件的试验称为几何概型，参照上述三个试验请给出几何
8、概型的定义。2、几何概型的定义事件A理解为区域 的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关。满足以上条件的试验称为几何概型。在几何概型中，事件的概率定义为其中 表示区域 的几何度量， 表示 区域A的几何度。3、古典概型和几何概型的比较古典概型几何概型所有基本事件的个数有限个无限个每个基本事件发生的可能性等可能等可能概率的计算公式4、怎样求几何概型的概率对于复杂的实际问题,解题的关键是要建立模型,找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域,把问题转化为几何概率问题,利用几何概率公式求解. 利用几何概型的定义判断该问题能否转化为几何概型求解；
9、把基本事件空间转化为与之对应的区域； 把随机事件A转化为与之对应的区域A； 利用几何概型概率公式计算。三、几何概型的应用练一练在面积为S的ABC边AB上任取一点P,求PBC的面积大于13 的概率。在高产小麦种子100ml中混入了一粒带锈病的种子，从中随机取出3ml，求含有麦锈病种子的概率是多少？取一个边长为2a的正方形及其内切圆（如图），随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率。答案: 学生自主小结老师总结今天我们通过观察分析发生在我们生活中的三个试验，得到了它们共同的本质的东西，定义了几何概型，通过几何模型的建立，从而实现了无限和无限的对接，进而归纳出几何概型的概率公式，以此我们可以解
10、决生活中的这类具体问题。由此我们可以发现我们的数学本身来源于生活，而又服务于生活，我们的生活是多姿多彩的，我们的数学也同样的多姿多彩的，让我们在今后的生活中学会观察和分析，从我们的生活中去发现和提炼更多的真善美的东西。五、作业1 、分别举出一个生活中的古典概型和几何概型的例子2 、 P115 1、2板书设计：多媒体演示有利于培养学生思维的完整性,也为学生归纳方程与函数的关系打下基础把具体的结论推广到一般情况,向学生渗透“从最简单、最熟悉的问题入手解决较复杂问题”的思维方法,培养学生的归纳能力利用辨析练习，来加深学生对概念的理解目的要学生明确零点是一个实数，不是一个点. 引导学生得出三个重要的等价关系，体现了“转化”和“数形结合”的数学思想，这也是解题的关键 通过小组讨论完成探究，教师恰当辅导，引导学生大胆猜想出函数零点存在性的判定方法.这样设计既符合学生的认知特点，也让学生经历从特殊到一般过程. 引导学生思考如何应用定理来解决相关的具体问题，接着让学生利用计算器完成对应值表，然后利用函数单调性判断零点的个数，并借助函数图象对整个解题思路有一个直观的认识. 通过反馈练习,使学生初步运用定理来解决“函数零点存在或所在区间”这一类问题对新知识的理解需要一个不断深化完善的过程，通过练习，进行数学思想方法的小结，可使学生更深刻地理解数学思想方法第 2 页 共 3 页
