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1、圆的培优专题1 与圆有关的角度计算一 运用辅助圆求角度1、如图， ABC 内有一点D， DA DB DC ，若DAB 20 ，DAC 30 ，1则BDC. （BDC 2BAC100）2、如图， AE BEDE BC DC，若C 100，则BAD . （ 50 ）3、如图，四边形ABCD 中， AB AC AD ，CBD 20 ，BDC 30 ，则BAD . （BAD BAC CAD 4060 100）第1题第2题第3题解题策略：通过添加辅助圆，把问题转化成同弧所对的圆周角与圆心角问题，思维更明朗！4、如图， ABCD 中，点 E 为 AB 、 BC 的垂直平分线的交点，若D 60 ，则AEC
2、. （AEC 2B2D120）5、如图， O 是四边形ABCD 内一点， OA OB OC，ABC ADC 70 ，则DAO DCO . （所求 360ADC AOC 150）6、如图，四边形ABCD 中，ACB ADB 90 ，ADC 25 ，则ABC .（ABC ADC 25）第4题第5题第6题解题策略：第6 题有两个直角三角形共斜边，由直角所对的弦为直径，易得到ACBD 共圆 .二 运用圆周角和圆心角相互转化求角度?ADC.7、如图， AB 为 O 的直径， C 为 AB 的中点， D 为半圆 AB 上一点，则8、如图， AB 为 O 的直径， CD 过 OA 的中点 E 并垂直于 OA
3、 ，则ABC .?.9、如图， AB 为 O 的直径， BC3AC ，则 ABC 第 7 题第 8 题第 9 题答案： 7、 45 ；8、 30；9、 22.5； 10、 40；11、 150； 12、 110解题策略：以弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径！10、如图， AB 为 O 的直径，点 C、D 在 O 上，BAC 50 ，则ADC .11、如图， O 的半径为1，弦 AB 2 ，弦 AC3，则BOC.12、如图，PAB、PCD是O的两条割线，PAB过圆心O，若ACCD，P，? 30则BDC . （设ADC x ，即可展开解决问题）第 10题第11题第 12题解题策略
4、：在连接半径时，时常会伴随出现特殊三角形等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形或等边三角形，是解题的另一个关键点！圆的四接四边形的外角等于内对角，是一个非常好用的一个重要性质！圆的培优专题2 与垂径定理有关的计算1、如图， AB 是 O 的弦， ODAB ，垂足为 C，交 O 于点 D ，点 E 在 O 上，若BED 30， O 的半径为4，则弦AB的长是.略解：ODAB ， AB 2AC ，且ACO 90，BED 30，AOC 2BED 601 OAC30 ，OC 2 OA2，则 AC2 3，因此 AB4 3.2、如图，弦AB 垂直于 O 的直径 CD ， OA 5， AB 6，则 BC .
5、略解：直径CD 弦 AB ， AE BE 1 AB=3 2 OE52324 ，则 CE 5 49 BC92323 10第 1 题第 2 题第 3 题3、如图， O 的半径为25，弦ABCD，垂足为P，AB 8，CD 6，则OP.略解：如图，过点O 作OEAB，OFCD ，连接OB， OD.11则 BE 2 AB 4，DF2 CD 3，且 OBOD 2 5OE(2 5)2422 ，OF (2 5) 23211又 ABCD，则四边形 OEPF 是矩形，则OP22(11) 2154、如图，在 O 内，如果 OA 8， AB 12，A B 60，则 O 的半径为.略解：如图，过点O作ODAB ，连接
6、OB，则 AD 12 AB 4，因此， BD 8，OD 4 3 OB(4 3)2824 7 .5、如图，正 ABC 内接于 O， D 是 O 上一点，DCA 15， CD 10，则 BC略解：如图，连接OC，OD ，则ODC OCD ABC 为等边三角形，则OCA OCE30 ，ODC OCD 45 OCD 是等腰三角形，则OC5 2过点 O 作 OE BC ，则 BC 2CE 56第 4 题6、如图， O 的直径 AB 4，C 为长线交 O 于点 D，则 CD略解：如图，连接 OC，则 OC 2第5题第6题?AEC 60，CE 的延AB 的中点， E 为 OB 上一点，?AEC 60 ，OC
7、E 30 C 为 AB 的中点，则 OC AB ，又1OC 1， CF 3， CD2CF 2 3如图，过点 O 作 OF CD，则 OF 27、如图， A 地测得台风中心在城正西方向300 千米的 B 处，并以每小时 107 千米的速度沿北偏东60的 BF 方向移动，距台风中心200 千米范围内是受台风影响的区域.问： A 地是否受到这次台风的影响？若受到影响，请求出受影响的时间？解：如图，过点 A 作 AC BF 交于点 C，1 ABF 30，则 AC2 AB150200，因此 A 地会受到这次台风影响；如图，以 A 为圆心200 千米为半径作A 交 BF 于 D、E 两点，连接 AD ，则
8、 DE 2CD 2 200215021007 ，所以受影响的时间为100710710 （时）圆的培优专题3 圆与全等三角形1、如图， O 的直径 AB 10，弦 AC 6，ACB 的平分线交O 于 D，求 CD 的长 .解：如图，连接AB ， BD ，在 CB 的延长线上截取BE AC ，连接 DE ACD BCD ， AD BD又 CAD EBD ，AC BE CAD EBD （ SAS）CD DE ，ADC BDEAB 为 O 的直径，则ACB ADB 90BC102628 ；ADC CDB CDBBDE 90，即CDE 90 CDE 是等腰直角三角形且CE 14， CD 722、如图，
9、AB 是 O 的直径， C 是半圆的中点，M 、 D 分别是 CB 及 AB 延长线上一点，且MA MD，若 CM2 ，求 BD 的长.解：如图，连接AC ，则 AC BC ，C 90，即 ABC 是等腰直角三角形过点 M 作 MNAD，则NMA MAD则 CMN 也是等腰直角三角形，则MN 2 CM 2 ANC MBD 135 ，又 MA MD ，DNMA MAD AMN BMD （ AAS ）BD MN 23、如图， AB 为 O 的直径，点 N 是半圆的中点，点?C为 AN求 BCAC 的值 .上一点， NC3 .解：如图，连接AN ， BN ，则 ABN 是等腰直角三角形在 BC 上截
10、取 BD AC ，连接 DNAN BN ，CAN DBN ，AC BD ACN BDN （ SAS）CNDN ，CNA DNB ， CNDCNA AND ADN DNB 90，即 CND 是等腰直角三角形CD 2NC 6，BCAC BCBDCD 64、如图，点?AM 于E，A、 B、 C 为 O 上三点， ACBC ，点 M 为 BC 上一点， CEAE5，ME 3，求 BM 的长 .解：如图，在AM 上截取 AN BM ，连接 CN ， CM.?A B ACBC ， AC BC，又 ACN BCM （ SAS）CN CM ，又 CEAMNEME 3，BM AN AE NE 2?CD，CD 交 O 于5、如图
