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1、课程信息年 级高二学科数学内容标题离散型随机变量的均值与方差;正态分布(理科)编稿老师邵珍红一、教学目标：(1) 了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求 出期望值、方差.(2) 正态分布曲线的性质、标准正态曲线N (0, 1)二、知识要点分析：1.数学期望：一般地，若离散型随机变量d的概率分布为dx1x2 x n pp1p2 pn 则称EE = xp + xp H xp H为d的数学期望，简称期望.1 1 2 2 n n2. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水 平.3. 平均数、均值：在有限取值离散型随机变量d的概率分布中，
2、令P = p2 =二Pn,11则有p = p =p =, Eg = (x + x + x )X ，所以d的数学期望又称为平12n n12n n均数、均值.4. 期望的一个性质：E(ag + b)二aEg + b5. 若 gB (n，p),贝9 Eg=np.6. 方差：对于离散型随机变量d，如果它所有可能取的值是x， x，x，12n且取这些值的概率分别是 p ， p ， p ，那么，12nDg = (x - Eg )2 - p + (x - Eg )2 - p -|(x - Eg )2 - p -|1122nn称为随机变量d的均方差，简称为方差，式中的Eg是随机变量d的期望.7. 标准差：Dg的
3、算术平方根0g叫做随机变量d的标准差，记作比.8. 方差的性质：(1) D(ag + b) a2Dg ； (2) Dg = Eg2 (Eg)2 ；(3)若 dB (n，p)，则Dg np (1p).9. (1)随机变量d的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；随机变量d的方差、标准差也是随机变量d的特征数，它们都反映了随机变量取值的 稳定与波动、集中与离散的程度；标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛10. 总体密度曲线：样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率.设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会 无限接
4、近于一条光滑曲线，这条曲线叫做总体密度曲线.上频率/组距总体密度曲线它反映了总体在各个范围内取值的概率根据这条曲线，可求出总体在区间(a, b)内 取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积.观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具 有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：1_ (兀-卩)2p (x)二e_ 202 , x e (a, +8)卩 q2ro式中的实数卩、o(o 0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差，p (x)的卩Q 图象为正态分布密度曲线，简称 正态曲线 .11. 正态曲线的性质：(1) 曲线在x轴的
5、上方，与x轴不相交.(2) 曲线关于直线x=y对称.(3) 当x=g时，曲线位于最高点.(4) 当xVy时，曲线上升(增函数)；当x卩时，曲线下降(减函数).并且当曲线 向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近.(5) 卩一定时，曲线的形状由G确定.O越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；G越小曲线越“瘦高”，总体分布越集中：12. 标准正态曲线：当卩=0、o=l时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示1_x2式是f(x) =e_2，(wVxV+w)J2兀其相应的曲线称为标准正态曲线.典型例题】知识点 1：离散型随机变量的均值例1：已知离散型随机变量X的分布列如下表若EX =
6、 0 , DX = 1，则a =b 二.思路分析：按分布列的性质.解：由题知a + b + c二1112，12 X a + 12 X c + 22 X112二1,解得a二512解题后的思考：按照定义去求解.例 2：在1, 2,3,9 这9个自然数中，任取3个数.(I) 求这3个数中恰有1个是偶数的概率；(II) 设E为这3个数中两数相邻的组数(例如：若取出的数为1,2,3 ,则有两组相邻的 数1,2和2,3，此时g的值是2 ).求随机变量g的分布列及其数学期望Eg .思路分析：解决此类题目的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件.解： 记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A,则P(A)
7、=(II)随机变量g的取值为0,1,2, g的分布列为C1C 245C391021g012P5111221251所以g的数学期望为Eg二0x迈+ 1x+ 2 x 丄二12解题后的思考：按照公式进行求解.例 3：某学生在上学路上要经过4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，1遇到红灯的概率都是3，遇到红灯时停留的时间都是2min.(I) 求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；(II) 求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间g的分布列及期望.思路分析：分析清楚具体事件，特别注意随机变量的可能取值.解(I)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A,因为事件
8、A等于 事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 显八匚 1)匚 1) 1 4的概率为 P(A丿=1 3 x 1 x =.I 3 丿 I 3 丿 3 27(II)由题意，可得g可能取的值为0，2，4，6，8 (单位：min).事件“ g = 2k ”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”(k = 0，1, 2, 3, 4)，R f I-! 4-.t即E的分布列是4_8_2788g 的期望是 Eg = 0 x + 2 x+ 4x+ 6x + 881812781016812328116321x 二816881818183 解题后的思考：本题主要考查随机事件、
9、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型 随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.小结：离散性随机变量的均值的意义：(1)均值是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.(2) E (X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，它描述X取值的平均状态.(3) E(aX + b) = aE(X) + b，说明随机变量X的线性函数Y= aX + b的均值等于随机 变量 X 均值的线性函数.知识点 2：离散型随机变量的方差例 4：在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生在规 模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据
10、过去10天甲、乙、 丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是A. 甲地：总体均值为3，中位数为 4B. 乙地：总体均值为1 ，总体方差大于0C. 丙地：中位数为 2，众数为 3D. 丁地：总体均值为 2，总体方差为 3思路分析：根据信息可知，连续10天内，每天的新增疑似病例不能有超过7的数，选项A 中，中位数为4,可能存在大于7的数；同理，在选项C中也有可能存在大于7的数；选项 B中的总体方差大于0，叙述不明确，如果数目太大，也有可能存在大于7的数；选项D中， 根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不会为3,故答案选D.解：【答案】D 解题后的思考：利用离散型随机变量的方差与期望的
11、知识，可以解决实际问题.利用所学知 识分析和解决实际问题的题型，越来越成为高考的热点，应予以重视.例5：某市出租车的起步价为6元，行驶路程不超过3km时，租车费为6元，若行驶路 程超过3km,则按每超出1km (不足1km也按1km计程)收费3元计费.设出租车一次行 驶的路程数X (按整km数计算，不足1km的自动计为1km)是一个随机变量，则其收费 也是一个随机变量.已知一个司机在某一天每次出车都超过了 3km,且一次的总路程数可能 的取值是20、22、24、26、28、30 (km)，它们出现的概率依次是0. 12、0. 18、0.20、0.20、 100a 2 + 3a、4a.(1) 求
12、这一天中一次行驶路程X的分布列，并求X的均值和方差；(2) 求这一天中一次所收出租车费Y的均值和方差.思路分析：正确求出分布列是求均值和方差的前提. 解 （ 1 ）由概率分布的性质有0.12 + 0.18 + 0.20 + 0.20 + 100a2 + 3a + 4a = 1 100a2 + 7a = 0.3 ,1000a2 + 70a 3 = 0 ,31a = 或a =-（舍去），100 10即 a=0 03 100a2 + 3a = 0.1 &4a = 0.12 ,X的分布列为：X202224262830Y0. 120. 180. 200. 200. 180. 12 E(X) = 20 x
13、 0.12 + 22 x 0.18 + 24 x 0.20 + 26 x 0.20 + 28 x 0.18 + 30 x 0.12 = 25(km).D(X) = 52 x 0.12 + 32 x 0.18 +12 x 0.20 +12 x 0.20 + 32 x 0.18 + 52 x 0.12 = 9.64.(2)由已知 Y = 3X - 3(X 3,X e Z),E(Y)=E(3X-3)=3EX-3=3x25 -3= 72 (元)，D(Y)=D(3X-3)=32D(X)=86.76解题后的思考：要善于使用公式E(ag + b) = aEg + b、D(ag + b) = a2Dg来简化计
14、算. 小结：离散性随机变量的方差的意义：(1) Dg表示随机变量g对E (g)的平均偏离程度， Dg越大表明平均偏离程度越大，说明g的取值越分散；反之，Dg越小，表明平均偏离程度 越小，g的取值越集中在E(g)附近，统计中常用标准差来描述g的分散程度.(2) Dg与 Eg 一样，也是一个实数，由 g 的分布列唯一确定【本讲涉及的数学思想、方法】日常生产生活中的一些问题，我们可以转化为数学问题， 借助于函数、方程、不等式、概率、统计等知识解决 同时，要提高分析问题和解决问题的 能力，必须关注生产和生活【模拟试题】(答题时间：90 分钟)一、选择题1. 数据a , a , a，,a的方差为a 2，则数据2a ,2a ,2a ,.,2 a的方差为( )123 n123na2A.B a2C. 2a2D. 4a222. 一套重要资料锁在一个保险柜中，现有n把钥匙依次分给n名学生依次开柜，但其中只有一把真的可以打开柜门，平均来说打开柜门需要试开的次数为( )A. 1B. nC.n +12D.n 一 123.设随机变量g服从标准正态分布N ( 0，1)，已知(1. 96)
