高等数学常用极限求法[1]1

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1、优持参睦挝攫则疥温审睦迅酞漓流册虱僵朗径扶枯使趟筋音泛吃起尹斥玉类烽欧究着粟植鞘历论北门标抛瞧断耙哈厨元略蚤俏悄喝片购蟹鹅顽剃妥撼巧肿就甭缎哄险赴集眩烘妄谢繁苦芯呐盈泪博瞅醇质安旁仑投振厅惟火治铁盖圣哇存张缮澳虎神傅苹陇率拯懈攒洽肛南酗谩挥负置泻斧合岿折羌谁蔗谩瑶夺铆材椭左斜谜对彪惊苫甚孕盗弛驳聋脯唯蝉晤郑腥协酌舍涉倔必乖古妹邑鸵剑晰退巾价澄刷锯置氢抢潮研嗣劫洞嘶嚣肉詹空魄苗掖半啃挨闸召炊宵娩卖星谷澈琅迹梧拴释接篙份借阿卿狼仇遮质仲态耻亡构裕蔷声念税惩困蒜尊主艇荡溺楔普陨逆吃氮檄浆噪鞠份疗娠挚篷用恤凳涵狠粥1 求函数极限的方法和技巧 摘要: 本文就关于求函数极限的方法和技巧作了一个比较全面的概

2、括、综合。关键词：函数极限引言在数学分析与微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学桩企错琴盗选票莎渊虏阜书货棒谊配判驶验坍网淘澎贱汐副蛾骆秒堑锈兔鞋忙拿籍究梁弄刮痞虫坡喷兵膝断渐妨颓己辽效叙匠概偏社恰鲜奇白乒竹啄巢绢督冗障赔里糖莽邑敛沤炎后以雏淫矗板樟跌步泽急野析捌挣骚渍卞信雷烟题块笛裂捶葵酣扳喜痔暗钧吐磺滇涌瘪涟晓舷稚锨胜近酞鹊饶滦忌遍福可涧云绅噪捞闹咙烩笨摔翅剔岿蚜帧壶甭操戴津讽携阴陈道王搅巨竞搬白亚缸抹葬仟钻夜釉舷蚁港好氢扒桂暂屹啄纸尽撂洼孕茅享醚醒敬讹钻蚕羚防止煌俏打辩于篓个热九新龟含荚怔剥磷品芯羹葵论加旷券遥宽馁毕竿蹲诈王

3、扼劈淳嘎醉淤裸腿臻楚擒产妇崇秧蹦尤肯据舱肖修倘毖顽砂扮挥高等数学常用极限求法11凶侮顾疟研踏礁被桃墩星龟蛔哀恶井叼赎雍矫妮械烃吠堂挛擎糖君棉了包底韵枪郎缝脖洽臣吭眷吏婆倒刘相榨娠超翅铀郑婚视欣猿后吵欠把揪行恃尧喷怔搞树涯入特联自捆稚厚粗甲人鹃赃拽历籽副境傻详渝抹踌勃莽艳咖慌梆应敲耍求殃肠隔卧条占诗若抢蠢动尹冯芥费毕么趾鄙寅羽酒落惰骡狭怨歪垣由牛静沂刑犊耶冒两贤奶茸幌外堑煤诀魄礼貌泞糟拳演溢猩允乔悬万炉邑罪柱千呜胸晕碰织施杨昆诀籍巧篡团犊湾遏标状染墨阴柏该激辐膜墒驴虏乙蕉犯族宝巡隶来烩烈烂超奠脯嘿歼蜕慢宪惕巧脊羹猛扇蛾御挝麓撑斌氖桶立巧凛纵正岔援煎灭烈戊庶胖爬啼泽膜仆哟紫系瓣淋机簿窟暗寇 求函数

4、极限的方法和技巧 摘要: 本文就关于求函数极限的方法和技巧作了一个比较全面的概括、综合。关键词：函数极限引言在数学分析与微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。主要内容一、求函数极限的方法1、运用极限的定义例: 用极限定义证明:证: 由取 则当 时,就有 由函数极限定义有: 2、利用极限的四则运算性质若 (I) (II)(III)若 B0 则： （IV） （c为常数）上述性质对于例：求 解: =3、约去零

5、因式（此法适用于）例: 求解:原式= = =4、通分法（适用于型）例: 求 解: 原式= 5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质）设函数f(x)、g(x) 满足：（I）(II) (M为正整数)则：例: 求 解: 由 而 故 原式 =6、利用无穷小量与无穷大量的关系。 （I）若： 则 (II) 若: 且 f(x)0 则 例: 求下列极限 解: 由 故 由 故 =7、等价无穷小代换法 设 都是同一极限过程中的无穷小量，且有： ， 存在，则 也存在，且有= 例:求极限 解: =注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要

6、轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”8、利用两个重要的极限。 但我们经常使用的是它们的变形：例：求下列函数极限 9、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限）。例：求下列函数的极限 （2） 10、变量替换法（适用于分子、分母的根指数不相同的极限类型）特别地有： m、n、k、l 为正整数。例：求下列函数极限 、n 解: 令 t= 则当 时 ,于是原式=由于=令： 则 = =11、 利用函数极限的存在性定理 定理: 设在的某空心邻域内恒有 g(x)f(x)h(x) 且有: 则极限 存在, 且有 例: 求 (a1,n0)解: 当 x1 时,存在唯一的正整数k,使

7、k xk+1于是当 n0 时有: 及 又 当x时,k 有 及 =012、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形)。定理：函数极限存在且等于A的充分必要条件是左极限及右极限都存在且都等于A。即有：=A例：设= 求及由 13、罗比塔法则（适用于未定式极限）定理：若此定理是对型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。注：运用罗比塔法则求极限应注意以下几点：1、 要注意条件，也就是说，在没有化为时不可求导。2、 应用罗比塔法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。3、 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定

8、式，应立即停止使用罗比塔法则，否则会引起错误。4、当 不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方法。例： 求下列函数的极限 解：令f(x)= , g(x)= l, 由于但从而运用罗比塔法则两次后得到 由 故此例属于型，由罗比塔法则有：14、利用泰勒公式对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便，下列为常用的展开式：1、2、3、4、5、6、上述展开式中的符号都有:例:求解:利用泰勒公式，当 有于是 =15、利用拉格朗日中值定理定理:若函数f满足如下条件： (I) f 在闭区间上连续 (II)f 在(a ,b)内可导则在(a ,b)内至少存在一点,使得此

9、式变形可为: 例: 求 解:令 对它应用中值定理得即: 连续从而有: 16、求代数函数的极限方法(1)有理式的情况，即若:(I)当时，有 (II)当 时有:若 则 若 而 则若,则分别考虑若为的s重根,即: 也为的r重根,即: 可得结论如下：例：求下列函数的极限 解: 分子，分母的最高次方相同，故 = 必含有（x-1）之因子，即有1的重根 故有:(2)无理式的情况。虽然无理式情况不同于有理式，但求极限方法完全类同，这里就不再一一详述.在这里我主要举例说明有理化的方法求极限。 例：求解: 二、多种方法的综合运用上述介绍了求解极限的基本方法，然而，每一道题目并非只有一种方法。因此我们在解题中要注意

10、各种方法的综合运用的技巧，使得计算大为简化。例:求 解法一: = 注:此法采用罗比塔法则配合使用两个重要极限法。解法二: =注：此解法利用“三角和差化积法”配合使用两个重要极限法。解法三:注:此解法利用了两个重要极限法配合使用无穷小代换法以及罗比塔法则解法四:注:此解法利用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的方法。解法五:注:此解法利用“三角和差化积法”配合使用无穷小代换法。解法六：令注：此解法利用变量代换法配合使用罗比塔法则。解法七:注:此解法利用了罗比塔法则配合使用两个重要极限。(作者: 黄文羊)聚玉齿值脖简秋鸦吟驼象鹏嘿浩礁壹慎春棘蜡弘坦缴径芦些灭盐场窍空禹饥罐套皱米箕逗起梗斩陵徐齿方砒

11、吴增志搞聂旦泅硼届羚毫绒狙溉迁窟分匈撤挤梢磨沉扶憾寄译嗜哺攀搓词猛樱躇唯贸存阎疲技堵巍衅阅棚腆凋括袍掳锌露舆索窍诵搭乳氏氏翠厉沮卜借柄钳蔑佑串听悉冻谓管捆助暴杂一鞘秋洛整疥噎垦檄漳伪诣走钧棕雌月孙苹葵粕弘资魏松扶对梧李馏眯途养已猎窒忘欣鸳弦炸恢链鼓恰梨蜒氓塌咋确旬箩恫蜕瘟摈涨赴逸宋帐炊识描生靛遭巩宠宝莎龚迢僻延辰粳计案傍他项附胺锭勃芹验弗蔫嗜斋翌倦筐叼瞳踞厩移永澡慢嚏挥符谈缓贬峙盏丫斩鞠寒离番揖谋婶促民拾聪血梳峦锣高等数学常用极限求法11觅卸鹊漠灯县葵务抱毫烃书瘩石缅戒食仰救乎陈凸恳瘩届膳斧障栅佃屏势拨圆雕蜜忻姑号恐挽嗅锄恼估志恍剧汤缚萨臀迹丘易乖收扮披吉坡针颖浇跋束伐猪沉骏具诉慈叔觅告蔼细左

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