初中数学图形与几何

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1、专题讲座初中数学图形与几何刘晓玫（首师大数学，教授） 史炳星（北京教育学院，副教授 ） 章巍（河北保定三中分校，高级教师 ） 一、图形与几何内容结构分析 刘晓玫（主讲人）：老师们好，下面我们这个模块讨论图形与几何的内容以及教学方面的问题。我首先来介绍一下今天参加我们讨论的两位嘉宾：坐在我右边这位老师是北京教育学院的史炳星教授，坐在我左边的是保定三中的章巍老师，我是来自首都师范大学的刘晓玫。我们这个模块一共有六个话题，首先我们来谈论第一个问题图形与几何的总体结构和主要特点，以及和原来相比发生了哪些变化？我们先请史炳星老师介绍一下，这次标准修订，从整体框架上，图形与几何这些内容有哪些特点，哪些变化

2、？ 史炳星：原来课程标准实验稿的几何框架是按照图形的认识、图形与变换、图形与坐标和图形与证明四条主线来划分的，新的课程标准修订稿把四条主线变成三条主线，这三条主线分别是图形的性质、图形的变化、图形与坐标。四条主线变成三条主线，首先是图形的性质这条主线基本上涵盖了原来图形的认识和图形与证明的内容，除了对一些基本图形的认识之外，还包含着对图形一些命题的证明，同时还发展了学生的空间观念和推理能力。 第二条主线是图形的变化，它的内容就比较丰富了，这里面包含了合同变换图形的轴对称、图形的平移、图形的旋转，以及图形的相似（包括位似），由于和相似关系密切，因此直角三角形的边角关系也包含其中，还有一类变换是仿

3、射变换，在标准中呈现的标题就是投影。这部分主要研究图形之间的关系，特别是从运动的观点和变化的角度来研究图形，这个方法本身也是十分重要的。 第三条主线叫做图形与坐标，它包含坐标与图形的位置，还有坐标与图形的运动，用坐标的方法刻画在图形的变换中所熟知的轴对称，图形的平移，图形的位似等等。 刘晓玫：刚才史老师介绍的框架里有一条主线叫图形与变化，原来我们叫图形与变换或图形的运动，但这次我们用的是变化，这是因为在这部分内容里，不光是数学上变换的东西，后面还有一些投影与视图的内容，另外解直角三角形也囊括在这里面，所以在这个里面叫变换显得不那么纯粹，叫运动，像解直角三角形这样的内容也有点牵强，我想用变化这个

4、词可能能够比较好地把刚才那些问题给规避掉，所以就起了这样一个名字。 接下来我们进一步来看看，从具体的内容增减变化上，图形与几何这块又有哪些变化。老师看了修订后的标准，首先会发现增加了打星号的内容，如关于相似三角形判定的演绎证明，圆中的垂径定理、切线长定理等。作为选取部分，反映了课程标准理念中的“不同的人在数学上得到不同的发展”，相当于给学生提供一个弹性的空间，对那些有余力、有兴趣的学生，给他进一步多学一点数学的机会，学生有选择性的学或者教师有选择性的教。 另外前面几讲中涉及的十个核心概念中，增加了一个叫几何直观。因为我们这部分内容针对的是图形，几何直观简单的说就是用图形说事，这在后面我们还会详

5、细解读。还有一些关于基本事实的增减变化等等。 章巍老师从教师的角度，对我们这个变化还有哪些感受，或者你发现哪些变化会引起老师们的注意？ 章巍：刚才史教授和刘教授分别对课程标准修订稿中图形与几何这部分整体框架，以及具体的一些变换，跟大家做了介绍。作为一线教师的话，这些变化需要我们重新去领悟和把握。首先我觉得应该对这部分的内容结构有一个整体的认识和把握，你比如两位教授前面谈到的四条主线变成了三条主线，这三条主线不光是对具体的学习内容的要求，更是从不同的角度，更多的维度对我们初中阶段的几何图形进行了全方位的、立体化的研究，它可以看作图形研究不同的三个途径，比如说都是一个三角形，我既可以用欧式的综合几

6、何的角度去认识它，也可以用变换的角度去认识，同样可以把它放在坐标系，从坐标的角度去认识它。所以同样是这些图形，有这样三条主线，可能就丰富了我们对这些图形的理解。理解好这一点，可以使大家更深刻的体会到几何课程对学生们的教育意义。 另外 从史教授刚才的介绍可以看出，图形与几何这部分涵盖的内容很多的，我们老师在教学过程中，还要抓住一些核心内容，比如三角形是最基本的平面图形之一，如果掌握了，其他图形就可以考虑转化为三角形去处理了。 再有，虽然课程的具体内容发生一些变化，但是我个人感觉，修订稿所倡导的这种思想、理念，和实验稿是一脉相承的。所以我们在教学中所提倡的让学生动手操作、鼓励发现、鼓励合作探究，以

7、及在此基础上完成对所学内容的归纳，最后再通过演绎的方式去证明的教学方式，还是应该继续在日常教学当中提倡的。 刘晓玫：我在学习这个标准中还有几点体会，一是我觉得图形与坐标这部分内容，跟实验稿相比要求提高了。比方说轴对称、平移现在要放到坐标系当中，利用量化的办法进行研究，所以从思维层次上讲提高了。从要求上看，这个步子确实比较大，所以希望老师们能够进一步研读标准，以达到能够准确地去把握。 刚才我想 章巍老师有一点谈的得非常好，“图形和几何”这部分内容整体的定位和要求是没有大变化的，和原来标准基本是一致的。所以我想也提这样一点建议，就是老师们在把握图形与几何这部分内容的时候，一定要有一个整体的观点。因

8、为一些老师容易有这样的倾向：好像几何更多的是演绎推理和证明，其他内容像附属品，花一点点时间学习学习就够了。其实我们要看到，即使在证明这个方面，我们也希望能够把合情推理和演绎推理结合起来，注意标准中用“探索并证明”，而不是仅仅去证明，尤其我们一直在提倡空间观念的培养、几何直观能力的发展，还有推理能力，都是我们几何学习中非常重要的。希望老师能够整体认识和把握“图形与几何”的教育价值，这样才能使我们在对几何内容进行教学设计的时候，实现预期的目标。 那么，关于第一个话题“图形与几何”内容结构总体的介绍，我们就先谈到这儿，当然后面我们介绍具体内容的时候，还会让大家反过来体会内容的整体结构。 二、图形的性

9、质内容与教学分析 刘晓玫：下面我们一块儿来谈论第二个话题，标准中其中一条主线是图形的性质，下面我们就来分析一下图形的性质这条主线的内容以及定位，包括我们的教学中应该注意哪些问题。我想首先请 章巍老师来谈一谈，在这个标题下，我们对哪些图形有怎样的认识？ 章巍：在上一节内容中，史老师已经把我们图形性质里面所涉及的主要图形向大家做了一个简单的介绍，在这里我们再详细地把标准中要求的一些图形做一个说明。首先，我们所研究的这些图形可以从不同的角度进行分类，比如说把它们分成直线形、曲线形。从维度上，有一维图形，重点是二维图形，当然还有简单的三维图形。从图形的复杂程度上，有基本图形与组合图形。具体来讲，这一部

10、分由七个小的标题组成，前五个标题，详细地介绍了我们在初中阶段所要掌握的一些基本图形，比如说第一部分是点、线、面，介绍了构成几何图形的基本元素，第二部分是相交线与平行线，对相交与平行这两种平面直线位置关系的概念、定义、性质和判别做了介绍。接下来一部分是三角形，这部分内容里面涉及到三角形边角的基本性质、三角形全等的性质和判定、以及特殊的三角形（等腰三角形和直角三角形）的性质。第四部分是四边形，重点介绍了平行四边形，以及特殊的平行四边形矩形、菱形和正方形的判别和性质。第五部分是圆，重点介绍了圆的中心对称性和轴对称性，以及由此引出的与圆有关的性质。当然这里面还有圆与其他图形（圆与直线，圆与四边形，圆与

11、多边形）的关系。在六、七这两部分内容中，作为几何学习的一个有机组成部分，分别谈到了尺规作图和定义、公理、证明的相关知识。对于尺规作图，除了这是一种作图方法，更多的是运用了图形判定的一些办法，实际上是对图形判定的一个具体应用。另外，只有明确了定义，公理、定理和证明的意义，我们才能够更好地对图形的性质进行探索和证明。 刘晓玫：老师们可能会注意到，在“图形的认识”里也有一些变化，比如梯形没有了，可能有的老师觉得不愿意把它去掉，我想是不是这样考虑的：首先小学我们已经有了梯形的概念，包括它的面积计算；其次对于梯形来说，我们往往是把它分割成平行四边形和三角形来研究的，而平行四边形和三角形已经作为基本图形在

12、前面研究得比较充分了，也就是说梯形自身已经没有更多新的东西了，即它的问题基本上都解决了。当然如果老师们愿意把梯形给学生们介绍一些也未尝不可，但是标准没有再单独把它列入在本学段的内容当中。 另外，标准中增加了圆内接四边形，这里主要是一个初步的了解，目的是把直线形和曲线形结合起来认识，希望老师们在教学的时候能够很好地把握，没有必要任意扩充。史老师你看还有什么关于这方面的补充。 史炳星：关于认识图形我想我们不能只关注图形的概念和性质这些知识点，还应在这个过程中，关注图形之间的关系，利用认识图形发展空间观念与几何直观，这都是我们教学当中应该考虑的。 章巍：还有一点，这部分介绍的主要基本事实有了一定的变

13、化和调整，这是不是为了使得我们的证明体系，或整个证明大厦的地基更科学更严谨？ 刘晓玫：章老师提到的这个问题，我想已经进入到另外一个话题。前面我们说到几何课要认识图形，现在我们考虑认识这样一些图形，以及认识什么。对于一个图形，一方面，我们要研究它的各个组成元素的性质。比如三角形的内角和等于 180 度，这是三角形三个角的关系，以及三角形两边之和大于第三边，这是三角形三条边的关系。再如平行四边形的对边、对角、以及角平分线等相关结论，都是围绕图形自身的属性来展开的。另一方面，我们还要研究两个图形（多个图形）之间的关系，如全等、相似，还有图形之间所具有的旋转，平移关系，实际上这些东西都可以归结为一种关

14、系。刚才章巍老师谈到几何证明的出发点，最典型的如两个图形全等的条件，这些恰恰就是我们研究其他图形的出发点，叫基本事实（公理）。所以，大家可以看到我们认识图形的什么了。大概有这么两类，一个图形的要素之间的关系，还有不同图形之间的关系，这些关系更多的都是用命题的形式来呈现，有一些是定理，有些我们作为这些定理证明的基础的基本事实。这样我们就谈了两个问题，一个是认识的对象，另一个是认识这些对象的什么，还有一个问题就是我们用什么样的手段和方式来认识刚才我们谈到的这些图形。 史炳星：认识图形的手段我们说是非常丰富的，标准的实验稿也好，修订稿也好，都特别提倡，首先我们利用直观的方法、利用实验的方法，或者叫做

15、操作性的办法。 刘晓玫：包括拼图，测量这样的手段。 史炳星：对，这些办法对于学生发展的空间观念、几何直观，实际上都是非常重要的。 刘晓玫：包括认识图形的属性。 史炳星：对，认识它的性质也是非常重要的，另外变换的方法、坐标的方法，以及演绎的办法，也就是逻辑推理证明，都是认识图形的办法。过去的教学当中，对于利用证明的办法来认识图形这一点老师们都没有疑问，最主要的是合情推理的这些办法有时不太重视，实际上这个方面是非常重要的，结论当然重要，但得到这个结论的过程本身，对于学生来讲也是非常重要的，对他们的能力的发展都是不可或缺的。对于基本事实，它们是进行逻辑推理的起点，我们不怀疑它的正确性，并以它作为依据

16、展开我们的推理证明。标准实验稿的基本事实是 6 条，现在做了一些调整，是 9 条，从这些基本事实出发，证明了关于线段、角、三角形，四边形大概 40 几个结论，还包括圆，相似形的一些性质。那么谈到认识图形，我想这些方法都应是有机地联系的，往往一个结论我们先通过合情推理得到一种猜想，然后我们再用逻辑推理的办法来进行证明。在这个过程当中，学生不但学会了证明，得到了一些结论，同时也积累了一些数学活动经验。 刘晓玫：刚才史老师谈得很清楚，我们在认识图形的方式方法上是多样的，我们一些老师的教学当中，证明和演绎更容易受到青睐。这次课程标准的目标比较重要的变化就是，把双基拓展到四基，从两个能力拓展到四个能力。我们在认识图形的方式方法的多样性方面，如果给予关注，实际上也正是对从双基到四基实践的一个很好的机会。因为在这个过程当中，所谓的合情推理，包括归纳类比，一些数学的思想都会渗透其中。另外刚才史老师谈到，基本活动经验的积累，画图、拼图、测量，要让学生经历这样