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1、word圆锥曲线定义、标准方程与性质一椭圆定义：假如F1，F2是两定点，P为动点，且 为常数如此P点的轨迹是椭圆。定义：假如F1为定点，l为定直线，动点P到F1的距离与到定直线l的距离之比为常数e0e1，如此动点P的轨迹是双曲线。二图形：三性质 方程：取值X围：； 实轴长=，虚轴长=2b焦距：2c 准线方程：焦半径：，；注意：1图中线段的几何特征：， 顶点到准线的距离：；焦点到准线的距离：两准线间的距离= 2假如双曲线方程为渐近线方程：假如渐近线方程为双曲线可设为 假如双曲线与有公共渐近线，可设为，焦点在x轴上，焦点在y轴上 3特别地当离心率两渐近线互相垂直，分别为y=，此时双曲线为等轴双曲线
2、，可设为； 4注意中结合定义与余弦定理，将有关线段、和角结合起来。 5完成当焦点在y轴上时，标准方程与相应性质。三、抛物线 一定义：到定点F与定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线。即：到定点F的距离与到定直线l的距离之比是常数ee=1。 二图形：三性质：方程：； 焦点： ，通径； 准线： ； 焦半径：过焦点弦长 注意：1几何特征：焦点到顶点的距离=；焦点到准线的距离=；通径长= 顶点是焦点向准线所作垂线段中点。 2抛物线上的动点可设为P或P考点一 求圆锥曲线方程求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算与创新思维能力，解决好
3、这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法.典例探究例1某电厂冷却塔的外形是如下列图的双曲线的一局部，绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A、A是双曲线的顶点，C、C是冷却塔上口直径的两个端点，B、B是下底直径的两个端点，AA=14 m，CC=18 m,BB=22 m,塔高20 m. 建立坐标系并写出该双曲线方程.命题意图：此题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的根底知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力.知识依托：待定系数法求曲线方程
4、；点在曲线上，点的坐标适合方程。错解分析：建立恰当的坐标系是解决此题的关键。技巧与方法：此题第一问是待定系数法求曲线方程。解：如图，建立直角坐标系xOy,使AA在x轴上，AA的中点为坐标原点O，CC与BB平行于x轴.设双曲线方程为=1(a0,b0),如此a=AA=7又设B(11,y1),C(9,x2)因为点B、C在双曲线上，所以有由题意，知y2y1=20,由以上三式得：y1=12,y2=8,b=7故双曲线方程为=1.例2过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的
5、方程.命题意图：此题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，根底性强.知识依托：待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题.错解分析：不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误.恰当地利用好对称问题是解决好此题的关键.技巧与方法：此题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB斜率的等式.解法二，用韦达定理.解法一：由e=,得,从而a2=2b2,c=b.设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上.如此x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12x
6、22)+2(y12y22)=0,设AB中点为(x0,y0),如此kAB=,又(x0,y0)在直线y=x上，y0=x0,于是=1,kAB=1,设l的方程为y=x+1.右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x,y),由点(1,1b)在椭圆上，得1+2(1b)2=2b2,b2=.所求椭圆C的方程为 =1,l的方程为y=x+1.解法二：由e=,从而a2=2b2,c=b.设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x1),将l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x24k2x+2k22b2=0,如此x1+x2=,y1+y2=k(x11)+k(x21)=k(x1+x2)2k=.直线l：y=x过AB
7、的中点(),如此,解得k=0，或k=1.假如k=0,如此l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=1，直线l的方程为y=(x1),即y=x+1,以下同解法一.例3如图，P1OP2的面积为，P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P的离心率为的双曲线方程.命题意图：此题考查待定系数法求双曲线的方程以与综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力.知识依托：定比分点坐标公式；三角形的面积公式；以与点在曲线上，点的坐标适合方程.错解分析：利用离心率恰当地找出双曲线的渐近线方程是此题的关键，正确地表示出P1OP2的
8、面积是学生感到困难的.技巧与方法：利用点P在曲线上和P1OP2的面积建立关于参数a、b的两个方程，从而求出a、b的值.解：以O为原点，P1OP2的角平分线为x轴建立如下列图的直角坐标系.设双曲线方程为=1(a0,b0)由e2=，得.两渐近线OP1、OP2方程分别为y=x和y=x设点P1(x1, x1),P2(x2,x2)(x10,x20),如此由点P分所成的比=2,得P点坐标为(),又点P在双曲线=1上，所以=1,即(x1+2x2)2(x12x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2即x1x2= 由、得a2=4,b2=9故双曲线方程为=1.思路方法一般求曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，
9、后定式，再定量的步骤.定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.定式根据“形设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m0,n0).定量由题设中的条件找到“式中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.考点一训练一、选择题1直线x+2y3=0与圆x2+y2+x6y+m=0相交于P、Q两点，O为坐标原点，假如OPOQ，如此m等于( )A.3B.3C.1D.12中心在原点，焦点在坐标为(0，5)的椭圆被直线3xy2=0截得的弦的中点的横坐标为，如此椭圆方程为( )二、填空题l的方程为y=x+3,在l上任取一点P，假如过点P且以双曲线
10、12x24y2=3的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_.P(4，2)、Q(1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，如此该圆的方程为_.三、解答题5椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个焦点为F，M是椭圆上的任意点，|MF|的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以y=x为轴的对称点M1和M2，且|M1M2|=，试求椭圆的方程.6.某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长.C1的方程为(x2)2+(y1)2=,椭圆C2的方程为=1(ab0)，C2的离心率为，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，求
11、直线AB的方程和椭圆C2的方程.考点二 直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉与位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次，有利于选拔的功能.典例探究例1如下列图，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求AMN面积最大时直线l的方程，并求AMN的最大面积.“韦达定理法.知识依托：弦长公式、三角形的面积公式、不等式法
12、求最值、函数与方程的思想.错解分析：将直线方程代入抛物线方程后，没有确定m的取值X围.不等式法求最值忽略了适用的条件.技巧与方法：涉与弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉与垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算.解：由题意，可设l的方程为y=x+m,5m0.由方程组,消去y,得x2+(2m4)x+m2=0 直线l与抛物线有两个不同交点M、N，方程的判别式=(2m4)24m2=16(1m)0,解得m1,又5m0,m的X围为(5，0)设M(x1,y1),N(x2,y2)如此x1+x2=42m，x1x2=m2,|MN|=4.点A到直线l的距离为d=.S=2(5+m),从而S2=
13、4(1m)(5+m)2=2(22m)(5+m)(5+m)2()3=128.S8,当且仅当22m=5+m,即m=1时取等号.故直线l的方程为y=x1，AMN的最大面积为8.例2双曲线C：2x2y2=2与点P(1，2)(1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值X围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点.(2)假如Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在.“差分法.知识依托：二次方程根的个数的判定、两点连线的斜率公式、中点坐标公式.错解分析：第一问，求二次方程根的个数，忽略了二次项系数的讨论.第二问，算得以Q为中点弦的斜率为2，就认为所求直线存在了.技巧与方法：涉与弦长的中点问题，常用“差分法设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化.解：(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线Cl的斜率存在时，设直线l的方程为y2=k(x1),代入C的方程，
