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1、1、一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 等差数列求和公式：S = （匕:叩 =na + （ n22、等比数列求和公式：S =nna1a (1 - qn)(q = 1)jq(q 丰 1)1 - q3、S =Xk = n(n +1) n2k=14、E 1S =况 k2 = n(n + 1)(2n +1) n6k =15、S =Xk3 = ln(n +1)2k=1-1例 1已知log3 x =元一3，求x + x2 + x3 + + xn +.的前 n 项和.2-1解：由 log3 x = o3 n log2由等比数列求和公式得S = x + x2 +
2、 x3 HF xn（利用常用公式）上(1 -).x(1-xn)22 n11=卞厂= =1-京2S的最大值.例 2设 Sn=1+2+3+n, nEN*,求 f (n)=皿十矽)$n+1解：由等差数列求和公式得Sn = 2 n（n +1）S = i(n + 1)(n + 2) n 2（利用常用公式）_1=, 64n + 34 + -n8当v n -玄，即n=8时f (n)max50题1.等比数列“的前n项和S =2 n4B-1,则廿+房+。；+-+成=题2.若 I2+22+(n-1)2=an3+bn2+cn, 则 a=,b=, c=(范一 1)范 (N范一 1)-+ ra11 1= ，. 解：原式
3、=66 答案：3以二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列an - bn的前n 项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.例3 求和：S 1 + 3x + 5x2 + 7x3 + + (2n 1)xn-1解：由题可知，(2n-1)xn-1的通项是等差数列2n1的通项与等比数列x-i的通项之积设 xS 1x + 3x2 + 5x3 + 7x4 + (2n -1)xn(设制错位)一得(1 一 x)S 1 + 2x +2x2+ 2x3 + 2x4 +2xn-1一 (2n-1)xn(错位相减1 一 x n1再利用等比数列的求和公式得：(1
4、 x)S = 1 + 2x 1尤-(2n 1)xn(2n -1) xn+1 - (2n +1) xn + (1 + x)n(1 - x)2心2 4 6例4求数列；，二 2 222n, 前n项的和.2 n解：由题可知，232n = 的通项是等差数列2n的通项与等比数列丁 的通项之积2n2n462n设 S + + + + 2462n+ + + , , , + 2223242 n+1一得(1 -222222n+ , , , +2 2223242 n2 n+1(设制错位)(错位相减-2 2 n-12n2 n+1Sn= 4 - 壬练习题1 已知 %，求数列an的前n项和Sn.见=*2 -1*2 - 21
5、 - 2-1 = 72-2 - 2 +1 答案：n练习题2的前n项和为答案:三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原 数列相加，就可以得到n个（气+气）.例 5求证：Co + 3C 1 + 5C 2 + f （2n + 1）C = （n +1）2n证明： 设S = C0 + 3C 1 + 5C2 +. + (2n + 1)C n把式右边倒转过来得S = (2n + 1)C n + (2n - 1)C -1 + . + 3C i + C 0(反序) 又由Cm = Cn-m可得S = (2n + 1)C 0 + (2n- 1)C i
6、 +. + 3C -1 + Cn+得 2 S = (2n + 2)(C 0 + Ci + . + C -1 + C n) = 2(n +1) 2(反序相加)S = (n +1) . 2 n例6 求 sin21。+ sin2 2。+ sin2 3。+ sin2 88。+ sin2 89。的值解：设S = sin21o + sin2 2。+ sin2 3 + sin2 88。+ sin2 89。 将式右边反序得S = sin 2 89。+ sin 2 88。+ sin 3。+ sin 2。+ sin1。(反序)又因为 sin x = cos(90o 一 x), sin2 x + cos2 x =
7、1+得(反序相加)2S = (sin21o + cos21。) + (sin2 2。+ cos2 2。) + (sin2 89。+ cos2 89。) =89. S=44.5已知函数（1）证明+/（）= 】；J +了+-.+/+了 2?（2） 求V 的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边(2)利用第(1)小题已经证明的结论可知,( 1 1(9/ +/ =/uoj uojr 2 JO；二1. 1 . f / Q A令7 +/ !/ +/UO10贝 1依=顶二 +/ 兰 +-+/ 4 +/ -T两式相加得：(1 ER 2S = 9x f +f I UOj UOJJ=9所以
8、2221021 -练习、求值：1+12 +932+S21/+1四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或 常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例7/求数列的前n项和：1 + 1,+ 4, + 7,+ 3n 2,a 。2-1解：设S = (1 + 1)+ (- + 4)+ ( + ?) + + (+ 3h-2)ha。2的-1将其每一项拆开再重新组合得S =(1 +上+ +.+上)+ (1 + 4 + 7 +.+ 3-2)(分组)a 。2an-i,(3n-l)n(3n + l)n/八小工.、当a=l时，S =n + -=-(分组求和
9、)221_当时，s =+T)m：+(3T) 12。-12a例8J求数列n(n+l)(2n+l)的前n项和.解：设=上(“ +1)(2上 +1) = 2*3 + 3上2 + * k:.S =2伙 + 1)(2化 + 1)=区(2幻+3如+化) nk=lk=l将其每一项拆开再重新组合得Sn=2X 幻+3尤 切+ X化(分组)k=lk=lk=l=2(13 + 23 hf n3) + 3(12 + 22 hf n2) + (1 + 2HF n)n 2(n +1)2n(n + 1)(2n +1)n(n +1)=+ + -2（分组求和）n(n +1)2 (n + 2)五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列
10、求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如:(1)=f (n +1) - f (n)sinl。(2) = tan(n +1)。一 tann。cos n。cos(n +1)。(3)1_ 1n(n +1)n n +1(4) a(2n)2= 1+n(2n - 1)(2n +1)2 2n -12n +1(5)n(n - 1)(n + 2) = 2 n(n +1) (n + 1)(n + 2)(6) an + 212(n +1) - nn(n +1) 2nn(n +1)1 _12 nn 2 n-11，则S(n +1)
11、2 n=1-二(n +1)2 n(7)（(An + B)(An + C) C B An + B An + C(8)a =；=、:n +1 fnn vn + 3 +1例 9 求数歹U1-2，3，,:1， 的前 n项和.解：设a.= ：n +1 - tnv n + t n +1（裂项）（裂项求和）11 + + + ,_, 1 + 12 v 2 + 3 n + n +1=(巨 f 1) + q -互)+ + G；n + 1 -Jn)=Jn +1 -1122例 10在数列a中，a =+-HH ，又b =，求数列b 的刖n项的和.n n n +1 n +1 n +1 a - an12nn解：, a =+
12、 +=-n n +1 n +1 n +1 2:.b =二=8（上一二）（裂项）n n n +1 n n +1 2 2.数列bn的前n项和S = 8（1 - i） + （L - ） + （-L） + + （ 一上）（裂项求和）n 22 33 4 n n +1=8（1-，）=也n +1 n +1例11求证:11+cos 0。cos 1。cos 1。cos 2。1cos1。+ +=cos88。cos89。sin2 1。解：设S =1cos0。cos1。1+cos1。cos 2。1+ +cos88。cos89。sin1。cos n。cos（n +1）。=tan（n +1）。一 tan n。（裂项）（裂项求和）S =+cos 0。cos 1。 cos 1。cos 2。cos 88。cos 89。=-（tan 1。一tan0。） + （tan2。一tan 1。） + （tan3。一tan2。） + tan89。一tan88。 sin1。答案：练习题1.原等式成立3 + 111 +上 + .+（1）0+ 3）奸p防 c2*4 + 3*5 46练习题2。答案:六、分段求和法（合并法求和）针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这
