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1、被捕食者捕食者模型稳定性分析【摘要】 自然界中不同种群之间还存在着一种非常有趣的既有相互依存、又有 相互制约的生活方式： 种群甲靠丰富的天然资源生存， 种群乙靠捕食甲为生， 形 成食饵 -捕食者系统，如食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫等。本文是 基于食饵捕食者之间的有关规律， 建立具有自身阻滞作用的两种群食饵捕食 者模型，分析平衡点的稳定性， 进行相轨线分析， 并用数值模拟方法验证理论分 析的正确性。关键词】 食饵捕食者模型 相轨线 平衡点 稳定性一、问题重述在自然界中， 存在这种食饵捕食者关系模型的物种很多。 下面讨论具有自 身阻滞作用的两种群食饵 - 捕食者模型，首先根据该两种群的相
2、互关系建立模型， 解释参数的意义， 然后进行稳定性分析， 解释平衡点稳定的实际意义， 对模型进 行相轨线分析来验证理论分析的正确性。二、问题分析本文选择渔场中的食饵 （食用鱼 ）和捕食者 （ 鲨鱼）为研究对象，建立微分方 程，并利用数学软件MATLA求出微分方程的数值解，通过对数值结果和图形的 观察，猜测出它的解析解构造。然后，从理论上研究其平衡点及相轨线的形状， 验证前面的猜测。三、模型假设1. 假设捕食者（鲨鱼）离开食饵无法生存；2. 假设大海中资源丰富，食饵独立生存时以指数规律增长；四、符号说明x（t） / Xi （t）食饵（食用鱼）在时刻t的数量；y（t）/ X2（t）捕食者（鲨鱼）在
3、时刻t的数量；ri 食饵（食用鱼）的相对增长率； 捕食者（鲨鱼）的相对增长率；Ni 大海中能容纳的食饵（食用鱼）的最大容量;N2 大海中能容纳的捕食者(鲨鱼)的罪的容量；1单位数量捕食者(相对于 N 2 )提供的供养食饵的实物量为单位数量捕食 者(相对于 N1 )消耗的供养甲实物量的 1倍；2 单位数量食饵(相对于Ni )提供的供养捕食者的实物量为单位数量捕食 者(相对于N2)消耗的供养食饵实物量的 2倍； d 捕食者离开食饵独立生存时的死亡率。五、模型建立食饵独立生存时以指数规律增长，且食饵(食用鱼)的相对增长率为ri，即 x rx ，而捕食者的存在使食饵的增长率减小， 设减小的程度与捕食者
4、数量成正 比，于是 x(t) 满足方程x (t) x(r ay) rx axy (i)比例系数a反映捕食者掠取食饵的能力。由于捕食者离开食饵无法生存，且它独立生存时死亡率为 d ，即 y dy ， 而食饵的存在为捕食者提供了食物， 相当于使捕食者的死亡率降低， 且促使其增 长。设这种作用与食饵数量成正比，于是 y(t) 满足y (t) y( d bx) dy bxy (2)比例系数 b 反映食饵对捕食者的供养能力方程(1)、(2)是在自然环境中食饵和捕食者之间依存和制约的关系，这里没有考虑种群自身的阻滞作用，是 Volterra提出的最简单的模型。下面，我们加入种群自身的阻滞作用，在上两式中加
5、入Logistic项，即建立以下数学模型：xi(t)們1x.x2X2(t) r2X21 2寸丘六、模型求解在此，我们采用MATLAB件求解此微分方程组中的Xi(t)、X2(t)的图形及相 轨线图形。设 11.5，24，11，20.4，N13500, N2500,使用 MATLAB软件求解，程序代码如下：1) 建立M文件fun cti on y=fun( t,x)2) ./500);2)在命令窗口输入如下命令： t,x=ode45(fu n1,0,40,2000,35)得到数值解如下：t(x(1),x(2)1.0e+003 * (单位：千克)02.00000.03500.10332.06540.
6、03690.20662.12760.03890.30992.18630.04120.41322.24120.04380.80792.41130.05601.20262.51110.07321.59732.53580.09611.99192.48700.12482.38062.37410.15772.76932.21270.19223.15792.02280.22463.54661.82470.25143.93531.63600.26974.32391.47270.27934.71261.34310.28135.10121.24270.27755.41671.17800.27175.73221.
7、12940.26426.04771.09510.25616.36311.07280.24766.74461.05990.23777.12611.05930.22867.50761.06840.22067.88911.08510.21398.29671.10940.20818.70421.13760.20389.11171.16760.20099.51931.19750.199310.01731.23130.199010.51531.25990.200011.01331.28150.202011.51131.29540.204712.04531.30220.207912.57931.30170.
8、211113.11331.29580.213813.64731.28640.215914.22311.27450.217414.79891.26270.218115.37471.25290.218115.95051.24550.217716.55231.24020.216917.15411.23770.216017.75591.23750.215118.35771.23910.214419.04031.24200.213819.72291.24540.213420.40541.24840.213421.08801.25060.213521.85741.25240.213722.62681.25
9、300.214023.39621.25270.214224.16561.25200.214425.06561.25090.214525.96571.24990.214526.86571.24950.214427.76571.24950.214328.76571.24960.214329.76571.24980.214230.76571.25000.214231.76571.25010.214332.76571.25010.214333.76571.25010.214334.76571.25000.214335.76571.25000.214336.82431.25000.214337.8828
10、1.25000.214338.94141.25000.214340.00001.25000.2143 plot(t,x),grid,gtext(x(t),gtext(y(t)图1.数值解為,X2（t）的图形 plot(x(:,1),x(:,2),grid.图2.相轨线图形从数值解及xjt), x2(t)的图形可以看出他们的数量变化情况，随着时间的 推移，都趋于一个稳定的值，从数值解中可以近似的得到稳定值为：(1250,214)下面对其平衡点进行稳定性分析：由微分方程、f (Xi,X2)r1x11N11瓷f(X1,X2)2乂21x1 x22N1 N2得到如下平衡点p(Ni,0), p2(iNi(
11、 i 1) N2( 2i),i 2 i i 2P3(0,0)因为仅当平衡点位于平面坐标系的第一象限时(Xi，X20)才有意义，所以,对P2而言要求20。按照判断平衡点稳定性的方法计算:ri(i 2xiMAXigx2Ni N2 )xigx2D2X2Ni2(ri E2Xi2X2Ni N2)根据P等于主对角线元素之和的相反数，而q为其行列式的值，我们得到下表:平衡点Pq稳定条件P(Ni,0)rir2 (2i)血(2 i)2 iii 2ii 2P3(0,0)rir 2%不稳定七、模型分析与检验i. 平衡点稳定性的分析及其实际意义：i)对 Pi(Ni,0)而言，有 p =ri d( 2 i)，q =几臥
12、 2 i)，故当 2 0,20,故 q 1 时，平衡点 P2(-1(11) N2( 21 1 2 1即R(N1,0)是不稳定的。2. 平衡点的检验:对于平衡点P2(N1(11)1)，把前面给出的初始值带入，在这使1 1 2用MATLAB件进行简单的求解，在命令窗口输入如下代码: x(1);x (2) ans =1.0e+003 *1.2500 0.2143把此处求解出的解和前面得出的数值解进行比较可知，平衡点P(N1(11) 2( 2巳(1 12 1 1勺)是稳定的。2八、模型的评价与推广1. 模型的评价自然界中，任何物种即使是捕食者也有自身的阻滞作用，该模型从原始的 没带自身阻滞作用模型中加
13、入了阻滞项， 使得此模型更接近于生态平衡系统。 从 此模型中，我们知道两物种同时灭绝是不稳定的， 也就是不太可能的，但两种群 有一种灭绝一种生存是完全有可能的，两种群共存的可能也是可能的。2. 模型的推广本文只考虑两物种模型，我们完全可以把此模型推广到三物种的情形。 自然界里长期存在的呈周期变化的生态平衡系统应该是结构稳定的，即系 统受到不可避免的干扰而偏离原来的周期轨道后， 其内部制约作用会使系统自动 回复原状，如恢复原有的周期和振幅，而 Volterra 模型描述的周期变化状态却 不是结构稳定的。要得到能反映周期变化的结构模型，要用到极限环的概念参考文献1 姜启源，谢金星，叶俊数学模型 , 高等教育出版社 .2003 年
