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1、统计信号处理实验三目的：掌握卡尔曼滤波滤波器的原理；内容：用雷达跟踪目标，目标的运动可以看成是在径向和横向内的二维运动，其运动方程和观测方程分别为：、和分别为径向距离、速度和观测值，而、和分别为横向距离、速度和观测值。和是状态噪声，是目标速度的波动；和是观测噪声；四种噪声的均值都为0，呈高斯分布，互不相关。T是雷达扫描一次的时间，此处设为1.0秒。假设目标距离雷达约160Km左右，径向初速度设为300 m/s，并且在向雷达靠近，横向初速度设为0 m/s。这样它的径向速度波动大，而横向速度波动小，所以我们假设的方差为300m/s，的方差为m/s。鉴于雷达的观测误差，我们假设观测噪声和的方差和均为
2、1.0Km。其中，和的初始值不是最佳的，学生完全可自己修改以上参数，并观察计算结果的变化，给出最好的滤波效果。任务：1） 试用滤波法对信号进行处理，并通过计算机模拟对其跟踪过程进行验证；2） 试求其Kalman滤波方程，并通过计算机模拟对其跟踪过程进行验证；3） 假设目标在运动过程中发生了机动（速度在某个时刻突然发生了改变），试观测此时的滤波和Kalman滤波结果，并对结果进行解释。要求：1）设计仿真计算的Matlab程序，给出软件清单；2）完成实验报告，给出实验结果，并对实验数据进行分析。解题思路：一、任务1：滤波状态方程和输出方程：k时刻对k+1时刻的状态估计为：根据恒增益滤波思想，二者按
3、照一定比例叠加，得到恒增益滤波的滤波公式：其中的是一个4行2列的矩阵，需要自己推导。本题中，,距离新息：速度新息：按照新息修正的思想，对距离新息的加权系数取，对速度新息的加权系数取，直接对状态变量预测估值进行修正：即求得。二、任务2：Kalman滤波我们要想完成计算，就必须知道A、C和Q、R，观测数据是必须提供的数据。A、C已经知道，现在寻找Q、R的确定值。Q是状态噪声协方差矩阵：R是观测噪声协方差矩阵：下一步就是确定初始值和，作为递推的初始数据。是预测误差协方差矩阵：其中：，所以：在推导上式时，和是随机过程中不同时刻的两个随机变量，我们认为这两个随机变量统计独立，而且是平稳随机过程，其不同时
4、刻的方差相同。两个时刻的时差T为雷达扫描一圈的时间。这样我们就有了初始值和，可以开始进行递推计算，首先计算k3时的状态变量。状态预测方程：状态预测误差 协方差矩阵：最佳增益方程：滤波估值方程：滤波估值误差 协方差方程：然后计算k4时的状态变量，如此递推，直到波形估计结束。三、任务3：机动目标跟踪在目标机动的情况下，即目标运动轨迹突然变化，比较滤波器和卡尔曼滤波效果的差别。四、任务4（选作）：非平稳噪声下的目标跟踪自己建立仿真的、序列，控制好它们的方差Q（K）和R（K），并用于程序中。在Q（K）和R（K）改变的情况下，观测恒增益滤波的结果和卡尔曼滤波的结果，比较并解释。实验结果：一、 滤波取al
5、pha=0.8，beta=0.2，滤波结果如下：（红色曲线代表滤波后的波形）改变alpha、beta的取值，使alpha=0.6，beta=0.1，滤波结果如下：从图中可以看出，滤波之后波形变得更平滑了，在观测信号尖峰的位置比较明显。而且适当减小alpha、后滤波效果更好了。二、 Kalman滤波从图中可以看出，滤波之后波形变得更平滑了，在观测信号尖峰的位置比较明显。三、 机动目标跟踪在t=50时刻，设置速度反向，t=56时刻，再次反向，得到的滤波和kalman滤波的波形分别如下：减小alpha，后，从图像中可以看出，当目标状态突变时，滤波和kalman滤波都能较好的跟踪目标机动，即具有自适应
6、性，而卡尔曼滤波的自适应性更好。程序清单：%alpha_beta滤波alpha=0.8;beta=0.2;x0=10000 300 0 0;y0=10000 0;K=alpha 0; beta 0; 0 alpha; 0 beta;C=1 0 0 0; 0 0 1 0;A=1 1 0 0; 0 1 0 0; 0 0 1 1; 0 0 0 1;X=zeros(4,100);Y=zeros(2,100);X(:,1)=x0;Y(:,1)=y0; wt=random(norm,0,sqrt(500),1,100);u1t=random(norm,0,sqrt(100),1,100);u2t=rand
7、om(norm,0,sqrt(0.12),1,100);for i=1:99 v1t=300+u1t(1,i); v2t=u2t(1,i); Y(:,i+1)=10000-v1t*i+wt(1,i) v2t*i+wt(1,i) x1(:,i+1)=A*X(:,i); %x(k+1|k) temp1=C*x1(:,i+1); temp2(1,1)=Y(1,i+1)-temp1(1,1); temp2(2,1)=Y(2,i+1)-temp1(2,1); X(:,i+1)=x1(:,i+1)+K*temp2; %x(k+1)endfigure(1);i=1:100;plot(i,Y(1,:),i,X
8、(1,:),r);grid;title(alpha_beta滤波);%卡尔曼滤波C=1 0 0 0; 0 0 1 0;A=1 1 0 0; 0 1 0 0; 0 0 1 1; 0 0 0 1;Q=0 0 0 0; 0 300 0 0; 0 0 0 0; 0 0 0 0.12;R=1000 0; 0 1000;I=1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1;v1t=300; X=zeros(4,100);Y=zeros(2,100);wt=random(norm,0,sqrt(1000),1,100);u1t=random(norm,0,sqrt(300),1,100)
9、;u2t=random(norm,0,sqrt(0.12),1,100);Y(:,1)=16000+wt(1,1) wt(1,1);Y(:,2)=16000-v1t+wt(1,2) wt(1,2);X(:,2)=Y(1,1) Y(1,2)-Y(1,1) Y(2,2) Y(2,2)-Y(2,1);P2=1000 1000 0 0; 1000 2300 0 0; 0 0 1000 1000; 0 0 1000 2000.12; Pi=P2;for i=3:100 v1t=300+u1t(1,i); v2t=u2t(1,i); Y(:,i)=16000-v1t*(i-1)+wt(1,i) v2t*i
10、+wt(1,i); x1(:,i)=A*X(:,i-1); %状态预测估值 pi=A*Pi*A+Q; %状态预测误差 协方差矩阵 Ki=pi*C*inv(C*pi*C+R); %最佳增益方程 temp1=C*x1(:,i); temp2(1,1)=Y(1,i)-temp1(1,1); temp2(2,1)=Y(2,i)-temp1(2,1); X(:,i)=x1(:,i)+Ki*temp2; %滤波估值方程 Pi=(I-Ki*C)*pi; %滤波估值误差 协方差方程endfigure(1);i=1:100;plot(i,Y(1,:),i,X(1,:),r);grid;title(kalman滤
11、波);%机动情况下alpha_beta滤波alpha=0.8;beta=0.2;x0=10000 300 0 0;y0=10000 0;K=alpha 0; beta 0; 0 alpha; 0 beta;C=1 0 0 0; 0 0 1 0;A=1 1 0 0; 0 1 0 0; 0 0 1 1; 0 0 0 1;X=zeros(4,100);Y=zeros(2,100);X(:,1)=x0;Y(:,1)=y0; wt=random(norm,0,sqrt(500),1,100);u1t=random(norm,0,sqrt(100),1,100);u2t=random(norm,0,sqr
12、t(0.12),1,100);for i=1:49 v1t=300+u1t(1,i); v2t=u2t(1,i); Y(:,i+1)=10000-v1t*i+wt(1,i) v2t*i+wt(1,i) x1(:,i+1)=A*X(:,i); %x(k+1|k) temp1=C*x1(:,i+1); temp2(1,1)=Y(1,i+1)-temp1(1,1); temp2(2,1)=Y(2,i+1)-temp1(2,1); X(:,i+1)=x1(:,i+1)+K*temp2; %x(k+1)end for i=50:60 v1t=150+u1t(1,i); v2t=u2t(1,i); Y(:
13、,i+1)=10000+v1t*i+wt(1,i) v2t*i+wt(1,i) x1(:,i+1)=A*X(:,i); %x(k+1|k) temp1=C*x1(:,i+1); temp2(1,1)=Y(1,i+1)-temp1(1,1); temp2(2,1)=Y(2,i+1)-temp1(2,1); X(:,i+1)=x1(:,i+1)+K*temp2; %x(k+1)endfor i=61:99 v1t=150+u1t(1,i); v2t=u2t(1,i); Y(:,i+1)=10000-v1t*i+wt(1,i) v2t*i+wt(1,i) x1(:,i+1)=A*X(:,i); %x(k+1|k) temp1=C*x1(:,i+1); temp2(1,1)=Y(1,i+1)-temp1(1,1); temp2(2,1)=Y(2,i+1)-temp1(2,1); X(:,i+1)=x1(:,i+1)+K*temp2; %x(k+1)endfigure(1);i=1:100;plot(i,Y(1,:),i,X(1,:),r);grid;title(alpha_beta滤波);%机动情况下卡尔曼滤波C=1 0 0 0; 0 0
