阿基里斯悖论

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1、阿基里斯悖论公元前 5 世纪，芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000 米处开始，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10 倍。当比赛开始后，若阿基里斯跑了 1000 米，设所用的时间为t ，此时乌龟便领先他100 米；当阿基里斯跑完下一个 100 米时，他所用的时间为t/10, 乌龟仍然前于他10 米。当阿基里斯跑完下一个10 米时，他所用的时间为t/100 ，乌龟仍然前于他1 米 芝诺认为，阿基里斯能够继续逼近乌龟，但决不可能追上它。中文名阿基里斯悖论时间公元前 5 世纪类型哲学发布者芝诺领域逻辑学目录 : 1 悖论内容、 2 产生原因、 3 哲学辨析、 4 简单证明、

2、5 推翻悖论1、悖论内容关于阿基里斯悖论的一个解释是：阿基里斯的确永远也追不上乌龟。虽然现实中我们知道阿基里斯超越乌龟非常简单，但是它是如何超过乌龟的在过去却一直存在争论。现代物理学已经证明了时间和空间不是可以无限分割的，所以总有最为微小的一个时间里，阿基里斯和乌龟共同前进了一个空间单位，从此阿基里斯顺利超过乌龟。2 、产生原因芝诺悖论的产生原因，是在于“芝诺时”不可能度量阿基里斯追上乌龟后的现象。在芝诺时达到无限后，正常计时仍可以进行，只不过芝诺的“钟”已经无法度量它们了。这个悖论实际上是反映时空并不是无限可分的，运动也不是连续的。通俗一点讲，我们都知道一条线是由无数个点组成的，但这个“无数

3、个点”并不能说我们无法画出一条线。也就是说就是芝诺偷换了概念，（1+0.1+0.01+ ） t其实是一个有限的时间，但他认为这个时间是无限大的，只要时间超过（1+0.1+0.01+ ） t阿基里斯就追上了乌龟。3、哲学辨析阿基里斯悖论分离了运动与静止，把运动绝对化，否定客观标准。是相对主义诡辩论。黑格尔在小逻辑中说：“辩证法切不可与单纯的诡辩相混淆。诡辩的本质在于孤立起来看事物，把本身片面的、抽象的规定，认为是可靠的。”辩证唯物主义认为，运动与静止是对立统一的辩证关系。一方面，运动与静止的对立表现在：运动是绝对的，静止是相对的，二者相互区别，不可混淆。所谓运动是绝对的是说，运动是物质的根本属性

4、，任何事物在任何条件下都是永恒运动的，是无条件的。所谓静止是相对的是说，静止是运动在特定条件下的特殊状态，是有条件的。另一方面，运动与静止的统一表现在：运动和静止是相互依存、相互贯通的，即所谓动中有静、静中有动。在运动与静止关系上有两种形而上学的错误：一种是割裂运动与静止的关系，否认运动，只讲静止，将静止绝对化的形而上学不动论；一种是割裂运动与静止的关系，只讲运动，否认静止的形而上学相对主义和诡辩论。4 、简单证明关于阿基里斯追龟的问题，我们可以很简单地证明阿基里斯追上了乌龟。我们设乌龟先前所走过的所有的点属于集合 B，乌龟现在所在的点标志为 b，乌龟所走过的所有的点是集合 A，A 由集合 B

5、 中所有的点加上 b 点构成。只要是乌龟先前所在的点，都是阿基里斯可以走到的，因而阿基里斯可以走到集合 B 中所有的点。那么，我们能不能在集合 A 中找到一个点，它既不属于 B，也不是 b，回答是不能的。因而如果阿基里斯走过了集合 B 中所有的点，阿基里斯与 b 点的距离就已经是 0（如果不是 0，则应该在阿基里斯与 b 点之间还会存在着一个点，但这个点并不存在），也就是说，阿基里斯已经追上了乌龟。而按照我们悖论所设定的条件，阿基里斯是可以走到乌龟先前所走过的所有的点的。因而阿基里斯追到了乌龟。但在上面的分析中，我们发现了一个有趣的矛盾，这就是 b 既属于 B 又不属于 B，也就是说， b 既

6、是现在又是先前。而且这是阿基里斯得以追上乌龟的前提和条件。这样的一个有趣的结论，是决不可能为具有形而上学头脑的那些数学家们所接受的。此悖论假设阿基米斯永远只能到达龟前一个时间段到达的地方， 即追上的前一个时间段，此时条件未发生变化，并先承认此时间段两者间仍有差异，然后用不同的时间段进行重复换算， 假设条件仍未变化。 而在此时间段的下一个口径相同的时间段里，阿基米斯就会追上。相反观点：这证明是错误的。因为证明假设了阿基里斯可以走一个点，在事实上回避了悖论中无法找第1 点问题实质。故此证明和悖论无关，只是把小学应用题用集合论复述了一遍。5、推翻悖论其实，我们根据中学所学过的无穷等比递缩数列求和的知

7、识，只需列一个方程就可以轻而易举地推翻芝诺的悖论： 阿基里斯在跑了 1000（ 1+0.1+0.01+ ）=1000(1+1/9)=10000/9米时便可赶上乌龟。人们认为数列 1+0.1+0.01+ 是永远也不能穷尽的。 这只不过是一个错觉。我们不妨来计算一下阿基里斯能够追上乌龟的时间为t （1+0.1+0.01+ ）= t (1+1/9)=10t/9芝诺所说的阿基里斯不可能追上乌龟，就隐藏着时间必须小于10t/9这样一个条件。由于阿基里斯和乌龟是在不断地运动的，对时间是没有限制的，时间很容易突破 10t/9 这样一个条件。一旦突破 10t/9 这样一个条件，阿基里斯就追上了或超过了乌龟。人

8、们被距离数列1+0.1+0.01+ 好像是永远也不能穷尽的假象迷惑了，没有考虑到时间数列1+0.1+0.01+ 是很容易达到和超过的了。但是不是所有的数列都能达到，所以，我们看问题不能太极端。例如无论多少个点也不能组成直线，对于点的个数来说，我们就永远无法穷尽它。其实，以上的证明是无法推翻这个悖论的。因为这个证明用到了极限这个概念。然而，极限这个概念，正是为了解决阿基里斯悖论而定义出来的一个概念。用这个概念再反证这个悖论很明显是不合理的。分无限的细分并不代表不会从时间59.9999.秒。1 流入时间2，否则你的时钟将永远停留在59阿基里斯能够继续逼近乌龟，在某一时间点之前无法追上。但永远追不上这一结果并不成立，因为这一悖论只引导去考虑追上之前的距离，而不是追上的这一距离。