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1、第七章 空间解析几何与向量代数一、知识考点精要向量的概念，向量的线性运算，向量的数量积和向量积的概念及运算，向量的混合积，两向量垂直、平行的条件，两向量的夹角，向量的坐标表达式及其运算，单位向量、方向数与方向余弦。曲面方程和空间曲线方程的概念，平面方程，直线方程，平面与平面，平面与直线、直线与直线的平行、垂直的条件和夹角，点到平面和点到直线的距离，球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标的旋转曲面的方程，常用的二次曲面方程及其图莆，空间曲线的参数方程和一般方程，空间曲线在坐标面上的投影曲线方程。（一）向量代数1. 向量的概念具有大小和方向的量称为向量（失量），我们只研究与起点无关的自由向量。
2、只有大小，没有方向的量叫做标量（数量）向量a的大小（或长度）称为它的模，记做|a|。模为零的向量称为零向量，记做0。模为1的向量称为单位向量，向量a的单位向量记做，显然。设向量a与空间直角坐标系的三个坐标轴正方向的夹角依次为，则，称为向量a的方向余弦，它们满足等式=1把向量a与空间直角坐标系的三个坐标轴正方向的夹角依次为把向量a的起点与空间直角坐标系原点相重合，则其终点的坐标（ax，ay，az），于是有0=0，0，0，设，为空间两点，以M1为始点，M2为终点的向量，其模为，其模为（即为点M1到M2的距离）。于是2向量的运算（1）加法。把向量b的起点移到向量a的终点，则以a的起点为起点，b的终点
3、的向量称为向量a与b的和，记做c=a+b。用坐表示，若，则a+b=(2) 数乘。实数l与向量a=数乘是一个向量，记做al，当l0时，向量la与a同向，当l0时，la与a反向，且|la|=|l|a|，用坐标表示有l a=。加法与数乘有以下性质 a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c) a+0=a（4）a+(-a)=0 l(ma)=m(la) (l+m)a=la+ma l( a+b)=l a+l b(3) 点乘（数量积或内积）。向量与b=的点乘是一个数| a |b|(其中表示之间的夹角)记做ab，即ab=| a |b|。用坐标表示为ab=。点乘的性质ab=ba (la)b=l(ab) (a+
4、b)c=ac+bc ab的充要条件是ab=0，简记 abab=0这里ab表示a与b垂直（或正交），常把aa记做a2=|a|2。（4）叉乘（向量积或外积）。两个向量与叉乘是一个向量，记做ab，它的模为|ab|=|a|b|sin，方向垂直于a, b, 且使a,b , a b成右手系。若向量a或b为零向量时，则定义ab=0，用坐标表示为 叉乘的性质：ab的充要条件是,简记ab,其中记录“”有示两向量平行。（5）混合积：称为向量的混合积，其几何意义是以向量a,b,c 为相邻的三条棱的平行六面体的有向体积。用坐标表示为混合积的性质：混合积中相邻的两个向量位置互换一次，则混合积变号，即三个向量a,b,c共
5、面的充要条件是。3向量在有向轴上的投影已知空间一点A以及一有向轴u，通过点A作轴u的垂直平面，那么平面与轴u的交点称为点A在轴u上的投影。u是与轴u同方向的单位向量，若向量u,那么称为轴u上的有向线段，并称为有向线段的值。空间一向量的起点和终点在轴u上的投影记为和，则有向线段的值称为向量在轴u上的投影，记做。向量b在向量上的投影为，其中（二）空间解析几何1直线、平面和曲面平面方程点法式方程其中为平面上一定点，n=A,B,C为平面的法向量一般式方程n=A,B,C为平面的法向量截距式方程其中a,b c依次为平面在x,y,z轴上的截距三点式方程平面过空间三点直线方程点向（对称）式方程其中为直线上一定
6、点，s=l,m,n为直线的方向向量参数式方程直线过点，它的方向向量s=l,m,n交线式方程其中为两个平面的法向量，曲面方程椭球面方程当或b=c或c=a时为旋转椭球面双曲面方程单叶双曲面双叶双曲面（二次）锥面方程抛物面方程其中pq0柱面方程F(y,z)=0,母线平行于x轴F(x,z)=0,母线平行于y轴F(x,y)=0，母线平行于z轴旋转曲面方程母线2.点、直线、平面之间的关系（1）两个平面之间的关系平面，其中为平面的法向量，平面，其中为平面的法向量。两平面相交？即不成立两平面垂直两平面平行两平面重合设与之间的夹角？满足（2）两条直线之间的关系设直线，其中为的方向向量，为经过的一点。直线，其中为
7、的方向向量，为经过的一点。两直线不共面，即混合积，这里两直线不共面但相互重直，但两直线垂直相交，且两直线平行,即两直线重合直线与直线之间的夹角满足（3）平面与直线关系设平面，直线，这里为平面的法向量，为直线方向向量平面与直线L相交不成立，即平面与直线L垂直ns，即平面与直线L平行，即直线L在平面上且，这里为直线L上的一点。直线L与平面的夹角满足（4）空间一点到平面的距离（5）空间点到直线的距离为为L上的点（6）直线与不平行，则与的距离为（7）过直线的平面束方程为或x+B1y+C1z+D1+l()=0，其中l，m为参数（两个线性方程的系数不成比例）。3母线平行坐标轴的柱面方程及空间曲线在坐标平面
8、上的投影设空间，消去联立方程组中的变量中的变量后得方程为，该方程表示一个以C为准线，母线平行z轴的柱面，称为空间曲线C关于xOy坐标面的交线：，称为空间曲线C在xOy面上的投影曲线。三教材习题同步解析习题7-18在yOz面上，求与三点A(3,1,2),B(4,-2,-2)和C(0,5,1)等距离的点。解 设所求的点的坐标为D(0,y,z)，则|DA|=|DB|=|DC|，即，解得y=1,z=-2，故所求的点为(0,1,-2)。9试证明以三点A(4,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3)为顶点的三角形是等腰直角三角形。证明 显然。故以A，B，C为顶点的三角形是等腰直角三角形。习题7-2
9、2如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形。 图7-2P269证明 依题意，。，故ABCD是平行四边形。3把ABC的BC边五等份，设分点依次为，再把各分点与点A连接。试以表示向量和。解 图7-3P270习题7-32一向量的终点在点B(2,-1,7)，它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为4，-4和7。求这个向量的起点A的坐标。解 设点A(x,y,z)，依题意，2-x=4,-1-y=-4,7-z=7，从而x=-2,y=3,z=0。故点A的坐标为（-2，3，0）。4设已知两点和。计算向量的模、方向余弦和方向角。解 。7设m=3i+5j+8k,n=2i-4j-7k和p=5i+j-
10、4k。求向量a=4m+3n-p在x轴上的投影及在y轴上的分向量。解 a=4m+3n-p=13i+7j+15k。从而向量a在x轴上的投影为13，在y轴上的分向量为7j。+8求平行于向量a=6,7,-6的单位向量。解习题7-42设a,b,c为单位向量，且满足a+b+c=0求。解 =)故。3已知和。求与同时垂直的单位向量。解 。图7-4P2714设质量为100kg的物体从点沿直线移动到点，计算重力所作的功（长度单位为m，重力方向为z轴负方向。）解 。5在杠杆上支点O的一侧与点O的距离为的点处，有一与成角的力作用着，在O的另一侧与点O的距离为的点处，有一与成角的力作用着（图7-4）。问符合怎样的条件才
11、能使杠杆保持平衡？解 要使杠杆保持平衡，必须保证力矩为零，即6求向量在向量上的投影。解7设a=3,5,-2,b=2,1,4,问与有怎样的关系，能使得与z轴垂直？解 ,要使与z轴垂直，只要，即，从而。8试用向量证明直径所对的圆周角是直角。证明图7-5P272故。9已知向量和，计算：（1）（2）（3）。解 （1）=(2)(3)10已知，求OAB的面积。解。11已知，（1）试利用行列式的性质证明（2）试利用混合积的几何意义证明三向量a,b,c共面的充分必要条件是：证明（1）同理故故 （ab）c=(bc)a=(ca)b(2) a, b, c共面以a, b, c为棱的平行六面体的体积V=0，V=|abc
12、|= V=0=012. 试用向量不等式证明不等式，其中a1、a2、a3、b1、b2、b3为任意实数。并指出等号成立的条件。证明 设a=, b=，则=故。当 |=1，即a/ b，亦即时，等号成立。习题7-53. 方程表示什么曲面？解 由，得，因此方程表示以为球心，以为半径的球面。4求与坐标原点O及点(2,3,4)的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面的方程，它表示怎样的曲面。解 设为曲面上任一点，则为球心，以为半径的球面。5将xOz坐标面上的抛物线绕x轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。解，即。7将xOy坐标面上的双曲线分别绕x轴及y轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。解 绕x轴旋转一周生
13、成的旋转曲面方程为：。绕y旋转一周所生成的旋转曲面方程为习题7-63分别求母线平行于x轴及y轴而且通过曲线的柱面方程。解 从方程组中消掉x得即为通过曲线而母线平行于x轴的柱面方程。从方程组中消掉y得即为通过曲线而母线平行于y轴的柱面方程。4求球面与平面x+z=1的交线在xOy面上的投影的方程。解 由x+z=1得z=1-x，代入得。从而所求的投影曲线方程为 。5将下列曲线的一般方程化为参数方程：（1）（2）解（1）将y=x代入得令，则z=3sint，故所求的参数方程为（2）将z=0代入得，令，则,故所求的参数方程为6求解旋线，在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程。解 由得，从而在xOy面上的投
14、影曲线方程为由得代入得，故螺旋线在yOz面上的投影曲线方程为将，从而螺旋线在xOz面上的投影曲线方程为。7求上半球与圆柱体的公共部分在xOy和xOz面上的投影。 解 由，知在xOy面上的投影曲线方程为，从而立体在xOy面上的投影为。由，知在xOz面上的投影曲线方程为，从而立体在xOz面上的投影为。8求旋转抛物面在三个坐标面上的投影。解由得，从而抛物面在xOy面上的投影为。由得，从而抛物面在yOz面上的投影为同理抛物面在xOz面上的投影为。习题7-73求过A(1,1,-1)、B(-2,-2,2)和C(1,-1,2)三点的平面方程。解 ，故所示方程为，即5求平面与各坐标面的夹角的余弦。解 设平面与yOz面，xOz面及xOy面的夹角分别为，且记n=2,-2,1则。6一平面过点（1,0,-1）且平行于向量a=2,1,1和b=1,-1,0,试求这平面方程。解 。所求平面方程为x-1+y-3(z+1)=0，即x+y-3z-4=0。7求三平面的交点。解 解方程组得所以（1,-1,3）即为交点坐标
