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1、细心整理拓扑学教案62-5 连续映射及同胚一、连续映射 我们这里先给出映射在点处的连续定义 定义 1 设和都是拓扑空间，是一个映射。假设，且在中的随意邻域的原象为在中的邻域，那么称为在点处连续的映射。V f (x)f (x)f -1(V)f -1(V)f f X X Y Y V x x 该定义的空间上分析见以下图，左图是连续状况，右图是连续状况。在上述定义中，将“邻域”换成“开集”，意义不变。于是，为在点处连续的定义可以描述为：对于包含的每个开集，必存在包含的开集，使得。这正是本章起先给出的连续性几种定义中的“邻域语言”表述。它是连续映射的等价定义。 定义 2 假设映射在任一点都连续，那么称为
2、上的连续映射。 注：映射在某点处连续具有“局部性”，而连续映射具有“整体性”。定理 1 设映射，以下各条件相互等价1是连续映射。 2的任一开集在下的原象是的开集。此条可做连续映射的定义 3的任一闭集在下的原象是的闭集。 证明：(1)(2)设连续，是的开集，设的原象。下面证是开集，即是内点由于，设是的邻域，依据在点处连续的定义，那么是的邻域即存在开集，那么是的内点。又由的随意性，那么，即是开集(即全部是由内点组成)。(2)(3)设是的闭集，那么是开集。因此，由上述结论2，有是的开集，于是 由数学分析性质是闭集。注：这里用到分析数学中性质 (3)(1)设是的邻域，且，而是闭集，由3，其原象是闭集。
3、那么 是开集，且 (注：)所以，是的邻域。由定义知，在处连续。 证毕。说明：在许多教材中，连续映射的定义都是“，假设的任一开集的原象都是的开集。”另外，教材中还给出了连续映射的其他等价条件，如4的拓扑的某一子基的任一成员的原象都是的开集。子集改成基，结论也成立5对于的任一子集，的闭包的象包含于的象的闭包，即 .此处不做证明白。二、连续映射的性质 性质：设,为拓扑空间，假如在处连续，在处连续，那么复合映射在处连续。证明： 对的任一邻域，由于在处连续，那么是的邻域；又由于是的邻域，故性质得证。三、同胚映射定义 3 设,为拓扑空间，假如为在上的一一映射单满，并且和都是连续的，那么称是一个同胚映射，或
4、同胚。及度量空间上的定义是相同的 当存在到的同胚映射，就称及同胚。 注：同胚映射中条件“连续”不能无视，它不能从“一一的满射和连续”推出来。f (1/2)f (0)f -1f 001/21AfAS1XX 例 表示复平面上的单位圆周，设 提示：那么是到上的一一映射，并且连续，但是不连续。比方，记，知是的开集。记，那么 而是上半圆且包含点1，1不是内点，那么不是开集。注：0是的内点，但不是上的内点，即是的开集，不是开的。性质： 全体拓扑空间集合内的同胚关系是一个等价关系。证明是简洁而简洁的，这里仅作一些说明： 恒同映射是同胚映射，那么及同胚。 假设是同胚，那么也是同胚映射，即及同胚，那么及同胚。
5、两个同胚映射的复合也是同胚映射，即及同胚， 及同胚，那么及同胚。0-/2/2XY下面介绍几个同胚映射的例子。例 1 开区间作为的子空间同胚于。 如：到的同胚映射 Nf (p)f (q)pq点P在上半平面上，点q在下半平面上，f (p)在球外平面上，f (q)在球内平面上。例 2 中的单位球面 去掉一点后及同胚。其同胚映射取球极投射，即去掉北极点的球面映射到赤道平面的一个同胚映射如右图所示，它的解析表达式为 即，球面点到平面上点的映射。定义 4 拓扑空间在同胚映射下保持不变的概念称为拓扑概念； 在同胚映射下保持不变的性质称为拓扑性质。 例如，假设是同胚映射，那么的开集的象是的开集； 的开集的原象是的开集；所以，“开集”的概念在拓扑映射下是保持不变的，那么“开集”是拓扑概念。而闭集、闭包、邻域、内点等等都是有开集概念定义的，有开集派生出来的概念都是拓扑概念。
