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1、2022年高考数学一轮总复习 专题33 数列求和检测 文本专题特别注意：1.倒序求和2. 错位相减求和3.分组求和4.分项求和5.裂项求和6.构造求和【学习目标】1熟练掌握等差、等比数列前n项和公式2熟练掌握非等差、等比数列求和的几种方法，如错位相减、裂项相消以及分组求和等【知识要点】求数列前n项和的基本方法(1)公式法数列an为等差或等比数列时直接运用其前n项和公式求和若an为等差数列，则Sn_若an为等比数列，其公比为q，则当q1时，Sn_(an为常数列)；当q1时，Sn_(2)裂项相消求和法数列an满足通项能分裂为两项之差，且分裂后相邻的项正负抵消从而求得其和(3)倒序相加法如果一个数列
2、an的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项的和即可用倒序相加法，如等差数列前n项的和公式就是用此法推导的(4)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的(5)分组转化求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，Sn10029929829722212(
3、10099)(9897)(21)5 050.【方法总结】1.常用基本求和法均对应数列通项的特殊结构特征，分析数列通项公式的特征，联想相应的求和方法既是根本，又是关键.2.数列求和实质就是求数列Sn的通项公式，它几乎涵盖了数列中所有的思想策略、方法和技巧，对学生的知识和思维有很高的要求，应充分重视并系统训练.【高考模拟】一、单选题1设列的前项和，若数列的前项和为，则（ ）A 8 B 9 C 10 D 11【答案】C【解析】【分析】首先求出数列的通项公式，利用裂项相消法求出数列的和【详解】Sn为等差数列an的前n项和，设公差为d，a4=4，S5=15，则：，解得d=1，则an=4+（n4）=n由于
4、=，则，=，解得m=10故答案为：10故选：C【考点】等差数列性质、裂项相消求和.【点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.2已知数列满足，若恒成立，则的最小值为（ ）A 0 B 1 C 2 D 【答案】D【详解】由题意知，由，得，恒成立，故最小值为，故选D.【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项
5、技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.3已知函数的图象过点，记若数列的前项和为，则等于（）A B C D 【答案】D【解析】【详解】分析：由函数的图象过点，求出，从而可得的通项公式，由裂项相消法可得结果.详解：因为函数的图象过点，所以，可得 ， ，故选D.点睛：本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项
6、之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.4定义为个正数的“平均倒数”.若已知数列的前项的“平均倒数”为，又，则等于（ ）A B C D 【答案】B【详解】根据题意和“平均倒数”的定义可得:设数列的前项和为，则当时，当时，当时也适合上式，则故故选【点睛】本题主要考查了数列的通项公式和求和，遇到形如的通项在求和时往往运用裂项求和法，关键在对已知条件的化简，求数列的通项公式。5在数列中，若，则的值A B C D 【答案】A【解析】分析：由叠加法求得数列的通项公式，进而即可求解的和.详解：由题意，数列中，则，所以所以，故选A.点睛：本题主要考查了数列的综合问题，其中解答中涉及到利用
7、叠加法求解数列的通项公式和利用裂项法求解数列的和，正确选择方法和准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.6数列的通项公式，则其前项和（ ）A B C D 【答案】A【解析】分析：先化简，再利用裂项相消求和.详解：由题得，所以，故答案为：A.点睛：（1）本题主要考查裂项相消求和，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和.7对于三次函数，给出定义：设是函数 的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对
8、称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则( )A 2016 B 2017 C 2018 D 2019【答案】C【解析】分析：对已知函数求两次导数可得图象关于点对称，即，利用倒序相加法即可得到结论.详解：函数，函数的导数，由得，解得，而，故函数关于点对称，故设，则，两式相加得，则，故选C.点睛：本题主要考查初等函数的求导公式，正确理解“拐点”并利用“拐点”求出函数的对称中心是解决本题的关键，求和的过程中使用了倒序相加法，属于难题.8在数列中，若数列满足：，则数列的前10项的和等于（ ）A B C D 【答案】B【解析】分析：由题设可以得到是等差数列，从而得到即，利用裂项相消法可求前项和.详解：
9、是等差数列，其首项是1，公差为2，所以，所以，故，故选B.点睛：数列通项的求法，取决递推关系的形式，如果满足，则用累加，特别地如果是常数，则就是等差数列；若，则用累乘，特别地如果是常数，则就是等比数列.其他类型的递推关系则可通过变形构建新数列且新数列的递推关系大多数满足前面两种情形.9定义函数如下表，数列满足，若，则（ ）A 7042 B 7058 C 7063 D 7262【答案】C【解析】分析：利用题设条件，结合函数定义能够推导出数列是周期为6的周期数列，由此能求出数列的前2018项的和.详解：由题设知，是周期为6的周期数列，故选C.点睛：本题考查函数的定义和数列的性质的应用，解题的关键是
10、推导出数列是周期为6的周期数列.10已知函数，且，则（ ）A 20100 B 20500 C 40100 D 10050【答案】A【解析】分析：根据函数表达式得到当n为偶数时，当n为奇数时，再由数列中裂项求和的方法得到结果. 详解：，当n为偶数时，当n为奇数时，故 故答案为：A.点睛：这个题目考查了三角函数的求值，以及三角函数的求值，数列的裂项求和的方法；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.11已知数列满足：，则的整数部分为（ ）A B C D 【答案】B【解析】分析：观察问题则需要进行裂项，再结合条件推导出其变式，然后进行求和详解：原式当时，整数部分为故选点睛：本题主要考查了裂
11、项求和，由已知条件推导出和问题一致的通项是本题的解题关键，在不断的转换过程中注意分子和分母的变形，本题有一定的难度。12已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推，则该数列的前94项和是（ ）A B C D 【答案】D【解析】分析：先归纳出的项数和变化规律，再确定第94项在第几组，是第几项，再利用等比数列的前项和公式进行求解详解：由题意，得共有项，且，令，则的最大值为，且，则该数列的前94项的和为点睛：归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般
12、结论的推理，其思维过程如下：试验、观察概括、推广猜测一般性结论13数列的通项公式，其前项和为，则（ ）A 1010 B -1010 C 2018 D -504【答案】B【解析】分析：根据通项公式，可得看成其是以为周期的周期函数，求出相邻项的值，即可求解.详解：，其是以为周期的周期函数， ，故选B.点睛：本题考查了三角函数的单调性，数列求和，推理能力与计算能力，属于中档题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.14已知定义在上的函数满足：；函数的图象与函数的交点为；则A B C D 【答案】
13、A【解析】分析：先由题得函数f(x)的图像关于点（2,0）对称，再得到函数g(x)的图像关于点（2,1）对称，最后得到函数f(x)与函数g（x）的图像的交点满足，最后求的值.详解：因为函数f(x)满足，所以函数f(x)的图像关于点（2,0）对称.由题得所以函数g(x)的图像关于点（2,0）对称，所以函数f(x)与函数g（x）的图像的交点 关于点（2,0）对称，满足由题得所以.故答案为：A.点睛：（1）本题主要考查函数的图像和性质，考查数列求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是推理出函数g(x)的图像关于点（2,1）对称，其二是推理得到函数f(x)与函数g（x）的图像的交点满足.15设表示不超过的最大整数，如已知数列满足：，则( )A 1 B 2 C 3 D 4【答案】A【解析】分析：由题意先求出数列的通项公式，再求出，最后结合的定义求解详解：，又满足上式，故选A点睛：本题考查累加法求数列的通项公式和利用裂项相消法求数列的和，考查学生的运算能力和理解运用新知识解决问题的能力，解题的关键是正确理解所给的运算的定义
