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1、等体积法求点到平面距离用等体积法求点到平面的距离主要是一个转换的思想，即要将所要求的垂线段 置于一个四面体中，其中四面体的一个顶点为所给点，另外三点位于所给点射影平 面上，这里不妨将射影平面上的三点构成的三角形称为底面三角形。先用简单的方 法求出四面体的体积，然后计算出底面三角形的面积，再根据四面体体积公式1 一 一VSh求出点到平面的距离h。在常规方法不能轻松获得结果的情况下，如果能用3到等体积法，则可以很大程度上提高解题效率，达到事半功倍的效果。特别是遇到 四面体的有一条棱垂直于其所相对的底面时，首选此方法。下面用等体积法求解例 子例：所示的正方体ABCD ABCD 棱长为a，求点A到平面
2、ABD的距离解法（等体积法）：如图所示，作AH垂直于平面ABD于点H，则AH长度为所 求。对于四面体 AAB D，易见底面ABD的高为AH，底面AB D的高为AA。对 四面体AAB D的体积而言有：VA AB D VA AB D即有：-AA S ABD - A H S ABD，也即：A H AS ABD33S abd由AB B D DA 、2a，从而 AB D为正三角形，AB D60，进而可求得S ABD 丄 AB AD sin AB D 丄（、2a）2sin 60 a22 2 21又易计算得到Rt ABD的面积为Sabd -a22-2所以 AH AA *_2 aS ABDv323a2从上面的
3、解答过程知道，我们在使用等体积法求点到平面距离时使用的点与平面间的垂线段只是概念上的，并不一定要知道点在平面射影的具体位置，从而也就不需要使用几何方法寻找或者求作垂线段，垂线段的长度在这种方法上只是作为几何体高的意义而存在的。练习：1、如图所示，棱长均为 a的正三棱柱中，AiD，DC，AiC. 求BCi到面AiDC的距离.2、如图所示，在三棱锥 P ABC中, AG= BC= 2,=AB, PCL AC求点C到平面 APB的距离.D为AB中点，连结AiA/ ACB= 90，AP= BP83、如图，在长方体 ABCD A-B-C-Di，中，AD AA- 1,AB 2，E为AB的中点，求A1点E到面ACD,的距离。D1*ACC1C4、如图已知三棱锥 O-ABC的侧棱OA,OB,OC两两垂直，且 E是OC的中点，求C到面ABE的距离.5、已知正方体 ABCD- AiBiCiDi是棱长为a的正方体，M、N分别是的中点求Ai到平面BMND的距离求Bi到平面 CNM的距离
