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1、利用函数性质判定方程解的存在 澄城县寺前中学 李敏【教学目标】1.知识与技能正确认识函数与方程的关系，理解函数零点的概念，领会函数零点与相应方程根的关系，进而（结合一次函数、二次函数）得出函数零点的存在性定理函数零点存在性定理的应用2.过程与方法通过观察函数图象找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法让学生归纳整理本节所学知识 3.情感、态度与价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值【教学重点和难点】重点： 零点的概念及存在性的判定难点： 零点的确定【学法与教具】学法：学生在教师的引导下，通过自主观察、探究、思考、交流讨论完成本节课的教学目标.教具：多媒体【教学过程】(一)
2、 创设情景，揭示课题问题1：方程和函数有什么关系？（提示学生从它们的表示符号上观察、比较、得出结论）结论：方程是函数中的函数y=0时的特殊情形。问题2：方程的根与函数的自变量x有什么关系，进而和函数的图像有什么关系？结论：方程的根就是函数中的函数y=0时自变量x的取值，也就是函数的图像与轴的交点的横坐标。（二） 互动交流 研讨新知 函数零点的概念：函数的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点。（也就是使得函数的函数值为零的x的取值，也就是方程的根）随堂练习：分别求下列函数的零点： 思考讨论1： 一次函数是否有零点，有的话有几个？二次函数呢？结论：一次函数有唯一零点；二次函数当0时，有两个不
3、同的零点，当=0时，有一个的零点，当0时，没有零点。得出结论：方程的根就是函数的图像与轴的交点的横坐标，也就是函数的零点。函数零点个数就是相应方程实数解的个数。（这样就为我们提供了一个通过函数性质确定方程解的途径，特别是那些无法解的方程。）思考讨论2：如何运用函数性质来判定无法解的方程在某个给定区间上解是否存在？（提示：由方程的根与函数的零点的关系启示考虑数形结合，即借助于函数的图像来解决。）方程在区间上有解的判定条件（提示学生通过观察函数的图像入手考虑，并引导学生得出结论：由一次函数的性质探究出方程在区间上解的存在性条件。）能否将上述探究结论推广到由二次函数的性质判定一元二次方程的解的存在性
4、？（通过教材例1题进行探究，并得出结论）能否将上述结论再推广到对一般方程解的存在性判定？试举例说明。（引导学生对定理中的“两个条件、一个结论”认识理解）函数零点存在性定理：若函数在闭区间上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即，则在开区间内，函数至少有一个零点，即相应的方程在开区间内至少有一个实数解。简单应用：教材例2题：已知函数，问：方程在区间 内有没有实数解？为什么？解：（略）（强调应用定理时需注意的问题）（三）巩固深化，发展思维例1：（教材例3题）判定方程有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2.分析：两种方法：法一：代数法（直接可通过解方程或其它的代数手段）、法二：几
5、何法（数形结合，通过函数图像得出其零点的个数及零点的取值范围）解：（略）例2：求函数的零点所在的大致区间（区间端点取整数）.分析：代数法（利用函数零点存在性定理）解：（略）（四）归纳整理，整体认识1.引导学生回顾本节课所学知识内容有哪些？函数零点的概念及函数零点与方程解的关系.函数零点的求法及存在性判定（即方程解的求法和存在性判定），具体方法有两种：代数法和几何法。2.本节知识内容所涉及到的主要数学思想有哪些？数形结合及转化思想、由特殊到一般的推理方法。（五）提升训练：(视具体情况而选)求函数的零点个数。分析：利用函数零点存在性定理可判断其存在性，但是有几个却由此判断不出，需借助函数的其它性质，引导学生完成题目。解：（略）（六）作业布置 1.书面作业：习题41：A组1、2. B组1.2.课后练习（1）下列关于函数零点说法正确的有 （ ）函数的零点就是方程的根；函数的零点就是的图像与轴的交点；函数的零点是实数. A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个(2)如果二次函数有两个不同的零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. (3)判断方程是否存在实数根。3.课后思考：如果函数在区间上的图像是连续的的曲线，并且，那么函数在区间内是否有零点？可能有几个零点？
