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1、2003年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷考生注意：1.答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚. 2.本试卷共有22道试题，满分150分.考试时间120分钟.一. 填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1. 已知函数，则 .2. 直线与直线的夹角为 . 3. 已知点在第三象限，则角的终边在第 象限.4. 直线被抛物线截得线段的中点坐标是 .5. 已知集合，且，则实数的取值范围是 .6. 已知为复数，则2的一个充要条件是满足 .7. 若过两点的直线与圆相切，则 .8. 不等式的解为 .9. 8名世界网球顶级选手在
2、上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第3、4名，大师赛共有 场比赛.10. 若正三棱锥底面边长为4，体积为1，则侧面与底面所成二面角的大小等于 .（结果用反三角函数值表示）11. 若函数，的图象关于直线对称，则 .12. 设利用课本中推导等差数列前项与的公式的方法，可求得的值为 .二选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，否则一律得零分.13. 关于直线、以及平面，下列命题中正确的是 (
3、 )(A) 若，则.(B) 若，则.(C) 若，且，则. (D) 若，则.14. 复数（为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于 ( )(A) 第一象限. (B) 第二象限. (C) 第三象限. (D) 第四象限.15. 把曲线先沿轴向右平移个单位，再沿轴向下平移1个单位，得到的切线方程是( )(A). (B).(C). (D).16. 关于函数，有下面四个结论：（1）是奇函数. （2）当时，恒成立.（3）的最大值是. （4）的最小值是. 其中正确结论的个数为 ( )（A）1个. （B）2个. （C）3个. （D）4个.三解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤
4、.17. (本题满分12分)解不等式组：.18. (本题满分12分) 已知函数在一个周期内的图象如图所示. 求直线与函数图象的所有交点的坐标.19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.已知三棱柱，在某个空间直角坐标系中，其中. （1）证明：三棱柱是正三棱柱；（2）若，求直线与平面所成角的大小.20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.已知函数.（1）证明是奇函数；并求的单调区间.（2）分别计算与的值，由此概括出涉及函数与的对所有不等于零的实数都成立的一个等式，并加以证明.21. (本题满分16分)本题共有3个小题，第
5、1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.设分别为椭圆的左、右两个焦点.（1）若椭圆上的点到两点的距离之与等于4，写出椭圆的方程与焦点坐标；（2）设点是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程；（3）已知椭圆具有性质：若是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点位置无关的定值. 试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明.22. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分8分.在一次人才招聘会上，有两家公司分别开出它们的工资标准：公司允诺第一年月工资数为1500元，以后每年月
6、工资比上一年月工资增加230元；公司允诺第一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%. 设某人年初被两家公司同时录取，试问：（1） 若该人分别在公司或公司连续工作年，则他在第年的月工资收入分别是多少？（2） 该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其它因素），该人应该选择哪家公司，为什么？（3） 在公司工作比在公司工作的月工资收入最多可以多多少元？（精确到1元）并说明理由.2003年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷参考答案及评分标准说明 1.本解答列出试题的一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标
7、准的精神进行评分. 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容与难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分. 3.第17题至第22题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数. 4.给分或扣分均以1分为单位.答案及评分标准一（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分. 1. 4. 2. . 3. 二. 4.（3，2）. 5. . 6. 7. . 8. . 9.16. 10. .
8、11. 6 . 12. .二（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分. 题 号13141516 代 号D ACA三（第17至22题）17.解 由 得， 或. 4分 由，得 ， ， 8分 原不等式组的解是 . 12分18. 解根据图象得, . 4分 又由图象可得相位移为. ，. 即 . 8分 根据条件，. 所有交点坐标为. 12分19. 解 （1） ， ， 又， ， ，为正三角形. 4分 又=0，即， 同理，平面， 从而三棱柱是正三棱柱. 8分 （2）取中点，连结、. ，平面平面， 平面， 即为直线与平面所成角.10分 在中， 即. 14分20. 解（1）函数的定义域关于原点对称，
9、又， 是奇函数. 3分 设，在上单调递增. 又 是奇函数，在上也单调递增. 7分 （2）计算得， 由此概括出对所有不等于零的实数有：. 10分 . 14分21. 解（1）椭圆的焦点在轴上. 由椭圆上的点到两点的距离之与是4，得2，即， 又点在椭圆上，因此得，于是， 所以椭圆的方程为，焦点. 4分 （2）设椭圆上的动点为，线段的中点满足： ， 7分 因此，即为所求的轨迹方程. 10分 （3）类似的性质为：若是双曲线：上关于原点对称的两个点，点是双曲线上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点位置无关的定值. 13分 设点的坐标为，则点的坐标为，其中. 又设点的坐标为. 由， 得=，将，代入得 . 16分22. 解(1) 此人在公司第年的月工资数分别为： . 4分 （2）若该人在公司连续工作10年，则他的工资收入总量为 （元）， 若该人在公司连续工作10年，则他的工资收入总量为 （元）， 8分 因为在公司收入的总量高些，因此该人应该选择公司. 10分（3）问题等价于求的最大值.当时，.当，即时， 得 . 因此，当时，；于是，当时，. 是数列的最大项， 16分 (元). 即在公司工作比在公司工作的月工资收入最多可以多827元. 18分第 页
