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1、作者：闻娇来源：商2015年第22期摘要：科技的发展对科学研究和工程技术人员提出了新的要求，能够用数学理论解决实 际的问题。为了满足这一要求，数学建模中广泛应用了数值分析的方法和思想。数值分析不仅 在模型求解的过程中有着较强的应用价值，而且对模型的构造也具有较很强的指导性。探究数 值分析中解线性方程组，插值拟合，数值积分等方法在模型建立、求解以及误差分析中的应 用，使数值分析更好的成为一种解决实际问题的工具。关键词：数值逼近；数学建模；模型求解数值分析主要解释了现代科学计算中使用的数值计算规则及它的基本原理，研究并求解数 值问题的近似解，是数学原理与计算机以及实际问题的有机结合1。随着现代科技
2、的快速发 展，运用数学思想解决科学技术和工程研究领域中的现实问题，已经得到广泛重视。数学建模 是数值分析联系实际的桥梁。在模型构建的过程中，无论是模型的建立还是模型的求解都要用 到数值分析课程中所涉及的算法，如插值方法、最小二乘法、拟合法等。一、数值分析在模型建立中的应用在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的模型也是离散的。例如，对 经济进行动态的分析时，一般总是根据一些计划的周期期末的指标值判断某经济计划执行的如 何。有些实际问题即可建立连续模型，也可建立离散模型，但在研究中，并不能时时刻刻统计 它，而是在某些特定时刻获得统计数据。另一方面，对常见的微分方程、积分方程为了求解
3、， 往往需要将连续模型事事化成离散模型。将连续模型转化成离散模型，最常用的方法就是建立差 分方程。以非负整数k表示时间，记xk为变量x在时刻k的取值，则称Axk=xk+1-xk为xk的一阶 差分，称A2xk=A (Axk) =xk+2-2xk+1+xk为xk的二阶差分。类似课求出xk的n阶差分 Anxk。由k, xk，及xk的差分给出的方程称为差分方程。例如在研究节食与运动模型时， 发现人们往往采取节食与运动方式消耗体内存储的脂肪，引起体重下降，达到减肥目的。通常 制定减肥计划以周为时间单位比较方便，所以采用差分方程模型进行讨论。记第k周末体重为 w (k)，第k周吸收热量为c (k)，热量转
4、换系数a，代谢消耗系数0，在不考虑运动情况下 体重变化的模型为w (k+1) =w (k) +ac (k+1) -0w (k) 2，k=0，1，2 增加运动时只需将0改为01+0，01由运动的形式和时间决定。二、数值分析在模型求解中的应用1. 拟合法求解在数学建模中，我们常常建立了模型，也测量了（或收集了）一些已知数据，但是模型中 的某些参数是未知的，此时需要利用已知数据去确定有关参数，这个过程通常通过数据拟合来 完成。最小二乘法是数据拟合的基本方法。其基本思想就是：寻找最适合的模型参数，使得由 模型给出的计算数据与已知数据的整体误差最小。假设已建立了数学模型y=f（x，c），其中，c=（c1
5、，c2 cm）T是模型参数。已有一组已知数据（x1，y1），（x2，y2） （xk，yk），用最小二乘确定参数c，使e（c）=ki=1 （yi-f（xi，c）2 最小。函数 f（x，c）称为数据（xi，yi）（i=1，2k）的最小二乘拟合函数。如果模型函数y=f（x，c）具有足够的可微性，则可用微分方程法解 出 c。最合适的 c 应满足必要条件 e （c）cj=-2ki=1 （yi-f（xi，c）f（xi，c）cj=0，j=1，2 m。2. 插值法求解在实际问题中，我们经常会遇到求经验公式的问题，即不知道某函数y=f（x）的具体表 达式，只能通过实验测量得到该函数在一些点的函数值，即已知一部分
6、精确的函数值数据 （x1，y1），（x2，y2） （xk，yk）。要求一函数yi=P（xi），i=0，1 k，（2）这就是插值问题。函数yi=p（xi）称为f（x）的插值函数。xi（i=0，1 k）称为插值节点，式（2）称为插值条件。多项式插值是最常用的插值方法，在工程计算中样条插值 是非常重要的方法。3. 模型求解中的解线性方程组问题在线性规划模型的求解过程中，常遇到线性方程组求解问题。线性方程组求解是科学计算 中用的最多的，很多计算问题都归结为解线性方程组，利用计算机求解线性方程组的方法是直 接法和迭代法。直接法基本思想是将线性方程组转化为便于求解的三角线性方程组，再求三角 线性方程组，理
7、论上直接在有限步内求得方程的精确解，但由于数值运算有舍入误差，因此实 际计算求出的解仍然是近似解，仍需对解进行误差分析。直接法不适用求解n4的线性方程 组，因此当n4时，可以采用迭代法进行求解。迭代法先要构造迭代公式，它与方程求根迭代法相似，可将线性方程组改写成便于迭代的 形式。迭代计算公式简单，易于编制计算程序，通常都用于解大型稀疏线性方程组。求解线性 方程组的一般设计思想如下，假设建立一个线性规划模型Ax=b其中 A=a11a12.a1na12a22.an2an1a12.ann，x=x1x2xn，b=b1b2bn，即 AERnxn，可将 A改写为迭代的形式x=Bx+f并由此构造迭代法xk+
8、1=Bxk+f，k=0，1，2其中BGRnxn，称为迭代矩阵。将A按不同方式分解，就得到不同的迭代矩阵B，也就 的带不同的迭代法，例如Jacobi迭代法5、高斯-赛德尔迭代法5、超松弛迭代法等。由于计算过程中有舍入误差，为防止误差增大，就要求所使用的迭代法具有稳定性，即迭 代收敛，收敛速度越快，误差越小。若x=Bx+f中，pB4. 数值积分在模型求解中的应用模型求解过程中可能遇到积分求解问题，用求积公式If=/bafxdx=Fb-Fa，使定积分计算变 得简单，但在实际应用中很多被积函数找不到用解析时表示的原函数，例如10e-x2dx，或者即 使找到表达式也极其复杂。另外，当被积函数是列函数，其
9、原函数没有意义，因此又将计算积 分归结为积函数值的加权平均值。假设ax0x1.xnb，则积分的计算公式5为JbafXdxb-ani=0aifxi，称其为机械求积 公式，其中xi（i=0，1，2，n）称为求积节点，ai与f无关，称为求积系数或权数，机械 求积公式是将计算积分归结为计算节点函数值的加权平均，即取Zni=0aifxif得到的。由于这类公式计算极其便捷，是计算檄计算积分的主要方法，构造机械求积公式 就转化为求参数xi及ai的代数问题。5. 数值分析在求解微分方程中的应用在数学建模中，所建立的模型很多时候是常微分方程或者偏微分方程，这些方程求解析解 是很困难的，而且即使能够求得解析解，由
10、于所用数据的误差得到的解也是近似值，所以大部 分情况下会采取数值的方法进行求解。三、误差分析在数学模型中往往包含了若干参变量，这些量往往是通过观察得到的，因此也带来了误 差，这种误差称为观察误差4。这些误差是不可避免的，所以我们只能在模型建立和模型求 解中避免误差扩大。目前已经提出的误差分析方法有向前误差分析法与向后误差分析，区间分 析法，及概率分析，但在实际误差估计中均不可行。不能定量的估计误差，因此在建模过程中 更着重误差的定性分析，也就是算法的稳定性分析。在误差分析中，首先要分清问题是否病态和算法是否稳定，计算时还要尽量避免误差危 害。为了防止有效数字的损失，应该注意下面若干原则：一是避
11、免用绝对值小的数作除数；二 是避免数值接近相等的两个近似值相减，这样会导致有效数字严重损失；三是注意运算次序， 防止“大数”吃“小数”，如多个数相加减，应按照绝对值由小到大的次序运算；四是简化步骤， 减少算术运算的次数。四、结论随着电子计算机的迅速发展、普及以及新型数值软件的不断开发，数值分析的理论和方法 无论是在高科技领域还是在传统学科领域，其作用和影响都越来越大，实际上它已成为科学工 作者和工程技术人员必备的知识和工具，所以把数值分析的知识正确的应用到数学建模中去不 仅是一种趋势，更是用数学的理论解决实际问题的关键。（作者单位：河南师范大学数学与信 息科学学院）参考文献：1郑慧娆，陈绍林，莫忠息，等.数值计算方法M.武汉：武汉大学出版社，2002.2陈东彦，李冬梅，王树忠.数学建模M.北京：科学出版社，2007.3姜启源，等.数学模型M.北京：高等教育出版社，2003.4李庆扬，王能超，易大义.数值分析M.4版.北京：清华大学出版社，2001.5李庆扬.科学计算方法基础M.4版.北京：清华大学出版社，2005.
