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1、利用向量解决三角形“四心”问题鄂尔多斯市东胜区东联现代中学 于春美向量是数形结合的载体，有方向，大小，双重性，不能比较大小。在高中数学“平面向量”（必修4第二章）的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题。在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系。下面就以三角形的四心为出发点，应用向量相关知识，巧妙的解决了三角形四心所具备的一些特定的
2、性质。既学习了三角形四心的一些特定性质，又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感。一、四心的概念介绍（1）重心中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、“四心”的向量风采1“重心” 的向量风采（1）是的重心.证法1：设 是的重心.证法2：如图三点共线，且分为2：1是的重心(2)设ABC的外心为O，则点G为ABC重心的充要条件为：证明：如图1，设G为重心，连结AG并延长，交BC于D，则D为BC的中点。图1 反之，
3、若，则由上面的证明可知：设D为BC的中点，则，从而，G在中线AD上且AG=AD，即G为重心。2、“垂心”的向量风采 是所在平面上一点，若，则是的垂心【解析】 由，得，即，所以同理可证，是的垂心如图（2）. 图图（2） 3、“内心”的向量风采 已知为所在平面上的一点，且， 若，则是的内心【解析】 ，则由题意得，与分别为和方向上的单位向量，与平分线共线，即平分同理可证：平分，平分从而是的内心，如图（3）.4、“外心”的向量风采 已知是所在平面上一点，若，则是的外心【解析】 若，则，则是的外心，如图(4)。图（4）5三角形的外心、重心、垂心的向量关系ABC的外心、重心、垂心分别为O、G、H，则O、G
4、、H三点共线（O、G、H三点连线称为欧拉线），且OG=GH。图5证明：如图5，连结AG并延长，交BC于D，则D为BC的中点。，O、G、H三点共线，且OG=GH。三 用向量解决四心问题的典型例题例1：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ ）A外心 B内心 C重心 D垂心分析：由题意，当时，由于表示边上的中线所在直线的向量，所以动点的轨迹一定通过的重心，如图.例2：（03全国理4）是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ B ）A外心 B内心 C重心 D垂心分析：分别为方向上的单位向量，平分,点的轨迹一定通过的内心，即选.
5、例3：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ ）A外心 B内心 C重心 D垂心 【解析】 由题意，由于，即,所以表示垂直于的向量，即点在过点且垂直于的直线上，所以动点的轨迹一定通过的垂心，如图 点的轨迹一定通过的垂心，即选.例4 已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则动点的轨迹一定通过 _的外心_【解析】 由于过的中点，当时，表示垂直于的向量，所以在垂直平分线上，动点的轨迹一定通过的外心，如图。例5、已知H是ABC的垂心，且AH=BC，试求A的度数解：设ABC的外接圆半径为R，点O是外心。 H是ABC的垂心 ，AH=BC， 而A为ABC
6、的内角， 02A360 从而2A=90或270 A的度数为45或135。例6、已知O（0，0），B（1，0），C（b，c），是OBC的三个顶点。试写出OBC的重心G，外心F，垂心H的坐标，并证明G、F、H三点共线。（2002年全国）解：重心G为，设H点的坐标为 ，BC=(b-1，c)， ，故 H点的坐标为 设外心F的坐标为由|FO|=|FC|，得，所以F点的坐标为（，）。 从而可得出GH=（，），FH=（，） ，GHFH，F、G、H三点共线。 例7、已知P是非等边ABC外接圆上任意一点，问当P位于何处时，PA2+PB2+PC2取得最大值和最小值。解：如图11，设外接圆半径为R，点O是外心，则图11PA2+PB2+PC2=（由命题六知：H为垂心，）当P为OH的反向延长线与外接圆的交点时，有最大值6R2+2ROH当P为OH的延长线与外接圆的交点时，有最小值6R22ROH
