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1、1归纳与类比1.1归纳推理性格决定命运，气度决定格局，细节决定成败，态度决定一切，思路决定出路，高度决定深度.学习目标1、通过实例了解归纳推理的概念2、能利用归纳推理进行一些简单的推理学习重点难点重点：归纳推理的理解与应用难点：归纳推理的应用本节课的教学中，为了突出重点、突破难点，需要注意以下两点：(1) 结构的开放性归纳推理很大程度上是一种创造性思维，教学中每个学生作出的推理可能并不一致，在这里有些时候结论是开放的，不是唯一的，只要“合情”，就应该认为是对的，应当鼓励学生积极地创造性的思维当然面对推出的不同结论，可以比较哪些结论是更具有研究价值的，哪些思考是更有深度的(2) 过程的复杂性归纳
2、推理有时不是一蹴而就的，并不是所有的问题只看三五个特殊情形，就能得出一般性结论，有些问题则需要多看几个，在归纳的同时也能培养学生在探究问题的过程中锲而不舍的精神教学流程情境引入?新知探究：归纳推理的定义、特点、作用?应用示例?抽象概括：归纳推理的一般步骤?课堂练习：通过练习，进行体验、感悟?课堂小结：通过总结，升华对本节课所学知识的认识导学流程一、了解感知【问题导思】(1) 同学甲发现锐角三角形，直角三角形都存在唯一内切圆，由此他推断所有的三角形都存在唯一内切圆(2) 同学乙观察到2552,2662,2772,由此他推断：n5时，2nn2.以上两位同学的推断方式有什么共同特点？【提示】都是从特
3、殊到一般，由部分到整体的推理从学生熟悉的实例出发，引出归纳推理的概念；以问题的形式启发学生思考如何进行归纳推理，完成下列问题1歌德巴赫猜想：“任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和”是怎样得出的?歌德巴赫提出猜想的推理过程：通过对一些偶数的验证，发现它们总可以表现成两个奇数之和（而且没有反例），于是猜想：“任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和”2、试通过归纳猜想得出凸多面体中，顶点数（V）、棱数（E）、面数（F）满足的关系。V-EF=23、阅读课本P53-55:请思考归纳推理的特征是什么？（1、归纳推理的定义：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性，这样
4、的推理方式称为归纳推理。（2）、归纳推理的一般步骤： 对有限的资料进行观察、分析、归纳整理； 提出带有规律性的结论，即猜想；即:实验、观察一一概括、推广一一猜测一般性结论（3）、特征：由部分到整体，由个别到一般。（4）、由归纳推理得到的结论，结论是否真实？（5）、归纳推理得到的结论未必真实，存在意义何在？（是一种具有创造性的推理。通过归纳法得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。）4、根据上面所学知识完成下列问题:已知”（a,b均为实数）、深入学习结合了解感知中对归纳推理定义的理解，注意对归纳推理得出的结论正确性的判断，完成下列例题，活用所学。【典例】数与式中的归纳推
5、理例1、观察下列等式：1 =12 +3+4=93 +4+5+6+7=254 +5+6+7+8+9+10=49照此规律，第五个等式应为【解析】本题考查数列中的不完全归纳法，由前四个等式得，第n行等式的左边为：以n为首项，公差为1的等差数列的前2n1项的和，右边为（2n1）2,则推算第5个等式为：5+6+7+8+9+10+11+12+13=81.变式训练：观察以下不等式13产2,1151+2+产3,11171+尹孑+424,111可以归纳出对大于1的正整数n成立的一个不等式1+2+孑+n2f(n),则不等式右端f(n)的表达式应为【思路探究】先观察不等式的左右两边，寻找项与序号之间的关系,再归纳出
6、一般性的结论.【自主解答】观察这三个不等式发现，第n个不等式的右边分母为n,分子为2n1.故f(n)2n1n【典例】归纳推理在几何中的应用例2、(1)如图311中为四个平面图形,数一数，每个平面图形各有多少个顶点？多少条边？它们分别围成了多少个区域？请将结果填入下表:图311顶点数V边数E区域数F463(2) 观察上表，推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间的关系；(3) 现已知某个平面图形有999个顶点，且围成了999个区域，试根据以上关系确定这个平面图形的边数.【思路探究】本题可从各个图形的顶点数、边数、区域数之间的关系作定量观察分析入手，来归纳出它们之间的关系.【自主解答】81256
7、9410156观察：8+512=1,6+49=1,10+615=1.通过观察发现，它们的顶点数V，边数E,区域数F之间的关系为V+FE=1.由已知，V=999,F=999,代入上述关系式得999+999E=1,E=1997故这个图形有1997条边.变式训练：在平面内，观察凸四边形、凸五边形、凸六边形的对角线的条数随着边数的增加的变化规律，由此猜想：凸n边形有几条对角线？【解】凸四边形有2条对角线；凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条；于是猜想：凸n边形的对角线条数比凸(n1)边形多(n2)条，即凸n边形对角线条数,1*为2+3+4+5+(n2)=qn(
8、n3)(n4,nN).规律方法：1.归纳推理的一般模式：S1具有性质P,S2具有性质P,，Sn具有性质P,其中S1,S2,Sn是A类事物的部分对象，所以A类事物具有性质P.2.解决图形中的归纳推理问题，可以从以下两个方面入手：(1)从图形结构的变化规律入手，发现图形的结构每发生一次变化，数值发生了怎样的变化.(2)从图形的数量规律入手，找到数值变化与序号之间的关系，归纳得出一般的结论.【典例】归纳推理在数列中的应用例3、在数列an中,a1=1且叭=吕(nN*)，猜想这个数列的通项公式.【思路探究】根据已知条件和递推关系,先求出数列的前n叽然后归纳总结其中的规律,写出其通项.【自主解答】an+2
9、an2+a2=着=22a222a323，a3=2+a2=4,a4=2+a3=5,2猜想：an的通项公式为an=a3=【解】a=2cos3,an+1=a2=J2+a1=2cosn32n2+22迹61=4cos;=2cosn=-2+2cosn=2+2(cos篇-1尸如希=2cos芸变式训练：已知在数列an中，a1=2cos3,a.+1=,2+a.(nN)，猜想这个数列的通项公式.a4=2+比=-2+2cos診=2+2cos2241=一:4cos224=2cos赤n猜想：an的通项公式为ai=2cose.3X2规律方法：由数列的递推公式猜想通项公式时,先由已知的递推公式求出数列的前n项，再观察数列的
10、项与项数的关系，归纳出通项公式.三、迁移运用归纳推理的应用有：数与式中的归纳推理、在几何中的应用、在数列中的应用，尤其在要掌握“递推型”的归纳推理问题的解法【典例4】古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图3-1-2:in图3-1-2由于图中1,3,6,10这些数能够表示成三角形，故被称为三角形数，试结合组成三角形的数的特点，归纳第n个图中的三角形数.【思路点拨】从图形结构的变化规律入手，发现图形的结构每发生一次变化，数值发生了怎样的变化，进而发现递推关系.【规范解答】第1个图中的三角形数为1,第2个图中的三角形数为3，比第1个图中的三角形数大2,2分第3个图中的三角形数为6，比第
11、2个图中的三角形数大3,4分第4个图中的三角形数为10，比第3个图中的三角形数大4,6分于是猜想：第n个图中的三角形数比第n1个图中的三角形数大n.所以，第n个图中的三角形数为1+2+3+n=.12分思维启迪：以图形变化为背景的归纳推理问题，其求解方法通常有两种：(1)从图形的结构变化规律入手，发现图形的结构再发生一次变化，与上一次比较，数值发生了怎样的变化；从式子的特征入手，找出式子的相同或相似之处，比如本题，由项数与对应项的关系特点.项数1234对应项1X22X33X44X52222nfn+1可归纳出，第n个图中的三角形数为2.四：课堂小结：1. 根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该
12、类事物中每一个事物都有这种属性，我们把这种推理方式称为归纳推理.2归纳是立足于观察、实际或经验的基础上，是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题.3根据归纳推理得出的结论不一定是正确的，要确定其正确性，还需进一步验证.五：当堂双基达标：1. 设数列an满足an+1=2an+1,nN*,ai=1，通过求a?,a3，猜想an的一个通项公式为（）A.2n1B.2n+1C.2n1D.2n+1【解析】Ta1=1,an+1=2an+1,2a2=2a1+1=2x1+1=3=21,a3=2a2+1=2x3+1=7=231,猜想：an=2n1.【答案】
13、C2. （2012西高考）观察下列事实：凶+|y|=1的不同整数解（x,y）的个数为4,|x|+|y|=2的不同整数解（x,y）的个数为8,|x|+|y|=3的不同整数解（x,y）的个数为12,，贝U|x|+|y|=20的不同整数解（x,y）的个数为（）A.76B.80C.86D.92【解析】由题意知|x|+|y|=1的不同整数解的个数为4,|x|+|y|=2的不同整数解的个数为8,|x|+|y|=3的不同整数解的个数为12,则可归纳出等式右端值与不同整数解的个数成倍数关系，且解的个数为等式值的4倍，则|x|+|y|=20的不同整数解的个数为80.【答案】B3. （2013陕西高考）观察下列等
14、式：12=1,1222=3,1222+32=6,1222+3242=10,照此规律，第n个等式可为【解析】1223sin30+sin90+sin150=，=1,12-22=-(1+2),1222+32=1+2+3,1222+3242=(1+2+3+4),2c21c2*211/,、n+12/,、n+112+34+(1)n=(1)(1+2+n)n+1nn+12=(-1)n+呼【答案】1222+3242+(1)n+1n2=(1)4试归纳出集合a1,a2,a3，an的子集个数.【解】当n=1时，子集个数为2=21,当n=2时，子集个数为4=22,当n=3时，子集个数为8=23,由此猜想，集合a1,a2,a3,，an的子集个数为2n.并给出证明.【解】222sin(a60)+sina+sin(a+60)acos60cosasin60)+sina+(sinacos60+cosasin60)/1.V32.-21.V52证明:=(sin=(sina
