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1、初三数学压轴题求最小值或最大值线段最值：将军饮马模型一、线段最值1.如图1，在直线l上找一点P，使PAPB最小.(2)如图2，在直线l上找一点P，使PAPB最小.(3)如图3，在直线l上找一点Q，使AQBQ最大.(4)如图4，在直线l上找一点Q，使AQBQ最大.(尺规作图，保留作图痕迹，用铅笔作图.)答案解：（1）如图1所示；（2）如图2所示；（3）如图3所示；（4）如图4所示本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的如图，已知AOB内有一点P，试分别在边
2、0A和OB上各找一点E，F，使得PEF的周长最小.试画图形，并说明理由.答案解：如下图：分别作点P关于OA，OB的对称点P，P连接P，P分别交OA于点E，交OB于F，则点E、F就是使PEF的周长最小的两点；理由：因为P与P关于OA对称，所以PEPE，同理PFPF，所以PEPFEFPEEFPFPP；因为P与P两点之间PP最短，所以PEF的周长此时最小.故答案为：略.借助轴对称的性质将线段进行转化是解题的关键.对称点如图，已知点A、B在MON内，在射线OM、ON上分别求作点C、D，使四边形ABCD的周长最小.答案解：如图所示：C、D为所求点.故答案为：；C、D为所求点.如图，已知点A、B分别在直线
3、l的两侧，试在l上找一点P，使PAPB最大.答案解：作点A关于直线l的对称点A，连AB并延长交直线l于P故答案为：略本题考查的是作图-轴对称变换，比较简单熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键，此类问题要能归结到作对称点的问题，且同侧和最小，两侧差最大解析作点A关于直线l的对称点A，则PA=PA，因而|PA-PB|=|PA-PB|，则当A，B、P在一条直线上时，|PA-PB|的值最大例：已知如图，抛物线y=x2+4x-3过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PDy轴交直线AC于点D（1）求点P在运动的过
4、程中线段PD长度的最大值；（2）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA-MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由答案解：（1）令x=0，则y=3，点C（0，3），则直线AC的解析式为y=-x+3，设点P（x，x2-4x+3），PDy轴，点D（x，-x+3），PD=（-x+3）-（x2-4x+3）=-x2+3x=-x-322+94，a=-10，当x=32时，线段PD的长度有最大值94；（2）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，MA=MB，由三角形的三边关系，|MA-MC|BC，当M、B、C三点共线时，|MA-MC|最大，为BC的长度，设直线BC的解析式为y=kx+b（k0），则k+
5、b0b3，解得k3b3，直线BC的解析式为y=-3x+3，抛物线y=x2-4x+3的对称轴为直线x=2，当x=2时，y=-3x2+3=-3，点M（2，-3），即，抛物线对称轴上存在点M（2，-3），使|MA-MC|最大故答案为：(1)94;(2)抛物线对称轴上存在点M（2，-3），使|MA-MC|最大解析（1）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；（2）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA-MC|最大，然后利用待定系数法
6、求出直线BC的解析式，再求解即可本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解.解析（1）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；（2）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA-MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解.2
7、.已知如图，抛物线过点，交轴于点，点是该抛物线上一动点，点从点沿抛物线向点运动（点不与点重合），过点作轴交直线于点。（1）求抛物线的解析式。（2）求点在运动的过程中线段长度的最大值。（3）能否构成直角三角形？若能请直接写出点坐标，若不能请说明理由。（4）在抛物线对称轴上是否存在点使最大？若存在请求出点的坐标，若不存在请说明理由。答案详解（1）因为抛物线过点，所以，得：，解得：，代入得：，故原方程的解为，所以抛物线的解析式是。（2）当时，所以点的坐标是，则直线的解析式是。设，因为，所以，则。因为，当时，线段的长度有最大值是。（3）当时，点与点重合，则。当时，因为抛物线，所以抛物线的顶点是。又因为
8、，所以当点在抛物线顶点时，则。综上所述，或时，能构成直角三角形。（4）由抛物线的对称性得对称轴垂直平分，所以。由三角形的三边关系得，所以当、三点共线时，最大，且是的长度。设直线的解析式是，则，解得，所以直线的解析式是。因为抛物线的对称轴是，所以当时，则点，故在抛物线对称轴上存在点，使最大。解析:本题主要考查二次函数的应用。（1）把点、的坐标代入抛物线解析式中得到、的值，即得到抛物线解析式。（2）求出点的坐标，用待定系数法求出直线的解析式，设，表示出的长，然后利用二次函数的性质求得线段长度的最大值。（3）当，点与点重合，即得到的坐标。求出抛物线顶点坐标，然后判断点在抛物线顶点时，是直角，得到的坐
9、标。（4）由抛物线的对称性得对称轴垂直平分，所以。再根据三角形的三边关系得到当、三点共线时，最大，且是的长度。解出直线的解析式，求得点的坐标即可。初三数学压轴题求最小值1. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A、B、C三点的坐标为（，0）、（3，0）、（0，5），点D在第一象限，且ADB60，则线段CD的长的最小值为_22_.解析如图，设圆心为P，连结PA、PB、PC，PEAB于E，A（，0）、B（3，0），E（2，0）又ADB=60，APB=120，PE=1，PA=2PE=2，P（2，1），C（0，5），PC=2，又PD=PA=2，只有点D在线段PC上时，CD最短（点D在别的位置时构成CDP）CD最小值为：2-2；故答案为：2-2。2.直线分别与x轴、y轴相交与点M、N，边长为2的正方形OABC一个顶点O在坐标系的原点，直线AN与MC相交与点P，若正方形绕着点O旋转一周，则点P到点（0，2）长度的最小值是（）A B C D1班答案详解A解:在和中,在以MN为直径的圆上,圆心G为,半径为当圆心G,点P,三点共线时,P到的最小值,这个最小值为所以A选项是正确的.解析:首先证明,推出,推出P在以MN为直径的圆上,所以当圆心G,点P,三点共线时,P到的最小值.求出此时的PC即可.1
