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1、 1 中档大题规范练直线与圆1已知圆O：x2y24和点M(1，a)(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程(2)若a，过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直，求|AC|BD|的最大值解(1)由条件知点M在圆O上，所以1a24，则a.当a时，点M为(1，)，kOM，k切，此时切线方程为y(x1)即xy40，当a时，点M为(1，)，kOM，k切.此时切线方程为y(x1)即xy40.所以所求的切线方程为xy40或xy40.(2)设O到直线AC，BD的距离分别为d1，d2(d1，d20)，则ddOM23.又有|AC|2，|BD|2，所以|AC|BD|22.则(|AC|BD|
2、)24(4d4d2)4524(52)因为2d1d2dd3，所以dd，当且仅当d1d2时取等号，所以，所以(|AC|BD|)24(52)40.所以|AC|BD|2，即|AC|BD|的最大值为2.2已知圆C：(x1)2y28.(1)设点Q(x，y)是圆C上一点，求xy的取值范围；(2)在直线xy70上找一点P(m，n)，使得过该点所作圆C的切线段最短解(1)设xyt，因为Q(x，y)是圆上的任意一点，所以该直线与圆相交或相切，即2，解得5t3，即xy的取值范围是5,3(2)因为圆心C到直线xy70的距离d42r，所以直线与圆相离，因为切线、圆心与切点的连线、切线上的点与圆心的连线，组成一直角三角形
3、且半径为定值；所以只有当过圆心向直线xy70作垂线，过其垂足作的切线段最短，其垂足即为所求设过圆心作直线xy70的垂线为xyc0.又因为该线过圆心(1,0)，所以10c0，即c1，而xy70与xy10的交点为(3,4)，即点P坐标为(3,4)3已知点P(0,5)及圆C：x2y24x12y240.(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程解(1)如图所示，|AB|4，将圆C方程化为标准方程为(x2)2(y6)216，圆C的圆心坐标为(2,6)，半径r4，设D是线段AB的中点，则CDAB，又|AD|2，|AC|4.在RtACD中，可得|CD|
4、2.设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y5kx，即kxy50.由点C到直线l的距离公式：2，得k.故直线l的方程为3x4y200.又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x0.所求直线l的方程为x0或3x4y200.(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，则CDPD，即0，(x2，y6)(x，y5)0，化简得所求轨迹方程为x2y22x11y300.4a为何值时，(1)直线l1：x2ay10与直线l2：(3a1)xay10平行？(2)直线l3：2xay2与直线l4：ax2y1垂直？解(1)当a0时，两直线的斜率不存在，直线l1：x10，直线l2：x10，此时，l1l2.当a0时
5、，l1：yx，l2：yx，直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，要使两直线平行，必须解得a.综合可得当a0或a时，两直线平行(2)方法一当a0时，直线l3的斜率不存在，直线l3：x10，直线l4：y0，此时，l3l4.当a0时，直线l3：yx与直线l4：yx，直线l3的斜率为k3，直线l4的斜率为k4，要使两直线垂直，必须k3k41，即1，不存在实数a使得方程成立综合可得当a0时，两直线垂直方法二要使直线l3：2xay2和直线l4：ax2y1垂直，根据两直线垂直的充要条件，必须A1A2B1B20，即2a2a0，解得a0，所以，当a0时，两直线垂直5已知圆C的方程为x2y2ax2ya20，一定点为A(1,2)，且过定点A(1,2)作圆的切线有两条，求a的取值范围解将圆C的方程配方有(x)2(y1)2，0，圆心C的坐标为(，1)，半径r.当点A在圆外时，过点A可作圆的两条切线，|AC|r，即 ，化简得a2a90.由得a，a的取值范围是ar，此时不满足直线与圆相交，故舍去，圆C的方程为(x2)2(y1)25.(3)解点B(0,2)关于直线xy20的对称点B(4，2)，则|PB|PQ|PB|PQ|BQ|，又B到圆上点Q的最短距离为|BC|r32.所以|PB|PQ|的最小值为2，直线BC的方程为yx，则直线BC与直线xy20的交点P的坐标为(，)
