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1、精做11 圆周运动的相关计算1（2016新课标全国卷）如图，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接。AB弧的半径为R，BC弧的半径为。一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动。（1）求小球在B、A两点的动能之比；（2）通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点。【答案】（1） （2）小球恰好可以沿轨道运动到C点【解析】（1）设小球的质量为m，小球在A点的动能为，由机械能守恒可得设小球在B点的动能为，同理有由联立可得（2）若小球能沿轨道运动到C点，小球在C点所受轨道的正压力N应满足【方法技巧】分析清楚小球的运动过程，把握圆周运动最高点临
2、界速度的求法：重力等于向心力，同时要熟练运用机械能守恒定律。2竖直平面内有一圆形绝缘细管，细管截面半径远小于半径R，在中心处固定一带电荷量为+Q的点电荷。质量为m、带电荷量为+q的带电小球在圆形绝缘细管中做圆周运动，当小球运动到最高点时恰好对管无作用力，求当小球运动到最低点时对管壁的作用力。【答案】N=6mg【解析】在最高点是重力提供向心力，故：mgF=m最低点，重力和支持力的合力提供向心力，故：NmgF=m从最高点到最低点过程只有重力做功，根据动能定理，有：mg2R=其中：F=联立解得：N=6mg根据牛顿第三定律，压力为6mg【名师点睛】对于圆周运动的问题，往往与动能定理或机械能守恒定律综合
3、起来进行考查，基本题型，难度适中。3如图，一个质量为M的人，站在台秤上，手拿一个质量为m，悬线长为R的小球，在竖直平面内做圆周运动，且摆球恰能通过圆轨道最高点，求台秤示数的变化范围。【答案】Mg0.75mgF(M+6m)g小球通过最低点时，由牛顿第二定律得：Tmg=m，解得：T=6mg台秤的最大示数：F最大=(M+6m)g小球运动到最高点时，细线中拉力为零，台秤的示数为Mg，但是不是最小，当小球处于如图所示状态时设其速度为v1，由机械能守恒定律得：mv12=mv02+mgR(1cos )由牛顿第二定律得：T+mgcos =m解得，悬线拉力：T=3mg(1cos )其分力：Ty=Tcos =3m
4、gcos 3mgcos2 当cos =，即=60时台秤的最小示数为：F最小=Mgmg=Mg0.75mg台秤示数的变化范围为Mg0.75mgF(M+6m)g【名师点睛】对物体进行受力分析，运用牛顿第二定律列出力与力的关系，根据题目的条件中找到临界状态。对于圆周运动的受力问题，我们要找出向心力的来源。4如图所示，一光滑的半径为R的半圆形轨道固定在水平面上，一个质量为m的小球先后两次以不同的速度冲上轨道，第一次小球恰能通过轨道的最高点A，之后落于水平面上的P点，第二次小球通过最高点后落于Q点，P、Q两点间距离为R。求：（1）第一次小球落点P到轨道底端B的距离；（2）第二次小球经过A点时对轨道的压力。
5、【答案】（1） （2）（2）根据题意可得根据解得设第二次小球经过轨道A点时，轨道对小球的弹力为解得根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力为5如图所示，匀速转动的水平转台上，沿半径方向放置两个用细线相连的小物块A、B（可视为质点），质量分别为 kg、 kg；细线长L=2 m，A、B与转台间的动摩擦因数=0.2。开始转动时A放在转轴处，细线刚好拉直但无张力，重力加速度g=10 m/s2。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求：（1）使细线刚好拉直但无张力，转台转动的最大角速度1为多少；（2）使A、B能随转台一起匀速圆周运动，转台转动的最大角速度2为多少【答案】（1）1=1 rad/s （2）2=2 rad/s
6、6如图所示，在水平面上固定一个半径R=1.6 m的3/4光滑圆弧轨道的工件，其圆心在O点，AOC连线水平，BOD连线竖直。在圆周轨道的最低点B有两个质量分别为m1=2 kg，m2=1 kg的可视为质点的小球1和2，两小球间夹有一个极短的轻弹簧，当弹簧储存了Ep=90 J的弹性势能时锁定弹簧。某时刻解除锁定，弹簧将两个小球弹开，重力加速度g=10 m/s2，试求：（1）两小球脱离弹簧瞬间的速度的大小（2）通过计算说明小球2第一次沿轨道上滑过程中能否通过D点？【答案】（1）v1= m/s v2=2 m/s （2）能通过（2）小球2向右运动，设其能到达圆周轨道的最高点D，由机械能守恒，有：代入数据解
7、得：vD= m/s又小球能通过竖直面内光滑圆周最高点的条件为：mg=m代入数据解得：v=4 m/s由于vvD，故小球2能通过D点。【名师点睛】弹簧将两个小球弹开的过程动量守恒、机械能守恒，根据动量守恒定律、机械能守恒定律列方程，可求出两球的速度。小球到达圆周轨道的最高点的过程，机械能守恒，列出方程，可求到达D点的速度。小球能通过竖直面内光滑圆周最高点的最小向心力为重力，根据牛顿第二定律求出最小速度。与求出的D点速度比较可知能否到达最高点。7如图，用一根长为L=1 m的细线，一端系一质量为m=1 kg的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角=37，当小球在水平面内绕
8、锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为时，细线的张力为T。求（g=10 m/s2，sin 37=3/5，cos 37=4/5，计算结果可用根式表示）：（1）若要小球离开锥面，则小球的角速度0至少为多大？（2）若细线与竖直方向的夹角为60，则小球的角速度为多大？（3）细线的张力T与小球匀速转动的加速度有关，当的取值范围在0到之间时，请通过计算求解T与2的关系，并在坐标纸上作出T2的图象，标明关键点的坐标值。【答案】（1） （2） （3）见解析（3）a当1=0时T1=mgcos =8 N，标出第一个特殊点坐标（0，8 N）b当0 rad/s时，根据牛顿第二定律得：Tsin Ncos =m2lsin Tc
9、os +Nsin =mg得，T=mgcos +ml2sin2 =8+2当2= rad/s时，T2=12.5 N标出第二个特殊点坐标12.5 (rad/s)2，12.5 Nc当 rad/s rad/s时，小球离开锥面，设细线与竖直方向夹角为T3sin =m2lsin T3=ml2当= rad/s时，T3=20 N标出第三个特殊点坐标20 (rad/s)2，20 N画出T2图象如图所示。8如图所示，光滑杆AB长为L，B端固定一根劲度系数为k、原长为的轻弹簧，质量为m的小球套在光滑杆上并与弹簧的上端连接，为过B点的竖直轴，杆与水平面间的夹角始终为。（1）感保持静止状态，让小球从弹簧的原长位置静止释放
10、，求小球释放瞬间的加速度大小a及小球速度最大时弹簧的压缩量；（2）当球随杆一起绕轴匀速转动时，弹簧伸长量为，求匀速转动的角速度；（3）若，移去弹簧，当杆绕轴以角速度，匀速转动时，小球恰好在杆上某一位置随杆在水平面内匀速转动，球受轻微扰动后沿杆向上滑动，到最高点A时球沿杆方向的速度大小为，求小球从开始滑动到离开杆过程中，杆对球所做的功W。【答案】（1） （2） （3）【解析】（1）小球释放的瞬间，小球的加速度大小为：当小球速度相等时，有：，解得弹簧的压缩量为：（2）当弹簧伸长量为，受力如图所示：在水平方向上有：竖直方向上有：，解得：。（3）当杆绕轴以角速度匀速转动时，设小球距离B点，此时有：解得
11、：，此时小球的动能为：小球在最高点A离开杆瞬间的动能为：根据动能定理有：，解得：【名师点睛】本题考查了动能定理、牛顿第二定律、胡克定律与圆周运动的综合，知道小球做匀速转动时，靠径向的合力提供向心力，由静止释放时，加速度为零时速度最大。9一转动装置如图所示，四根轻杆OA、OC、AB和CB与两小球以及一小环通过铰链连接，轻杆长均为l，球和环的质量均为m，O端固定在竖直的轻质转轴上，套在转轴上的轻质弹簧连接在O与小环之间，原长为L，装置静止时，弹簧长为L，转动该装置并缓慢增大转速，小环缓慢上升。弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦和空气阻力，重力加速度为g，求：（1）弹簧的劲度系数k；（2）AB杆中弹
12、力为零时，装置转动的角速度0。【答案】（1） （2）【解析】（1）装置静止时，设OA、AB杆中的弹力分别为F1、T1，OA杆与转轴的夹角为1。小环受到弹簧的弹力小环受力平衡：F弹1=mg+2T1cos 1小球受力平衡：F1cos 1+T1cos 1mg=0；F1sin 1T1sin 1=0解得：10如图所示，半径为R的光滑圆周轨道AB固定在竖直平面内，O为圆心，OA与水平方向的夹角为30，OB在竖直方向。一个可视为质点的小球从O点正上方某处以某一水平初速度向右抛出，小球恰好能无碰撞地从A点进入圆轨道内侧，此后沿圆轨道运动到达B点。已知重力加速度为g，求：（1）小球初速度的大小；（2）小球运动到
13、B点时对圆轨道压力的大小。【答案】（1） （2）【解析】（1）设小球的初速度为，飞行时间为t，则在水平方向有在竖直方向有，小球运动到A点时与轨道无碰撞，故联立解得，（2）抛出点距轨道最低点的高度设小球运动到最低点B时速度为v，对圆轨道的压力为F根据机械能守恒有根据牛顿运动定律有联立解得【名师点睛】对于多过程问题，需要将运动对象在每一个过程中的运动性质分析清楚，然后根据相对应规律列式求解。11如图所示，一根轻质细杆的两端分别固定着A、B两个小球，在杆上的O点装一光滑水平轴，已知两球质量均为m，AO=l，BO=2l。现从水平位置以某一初速度释放，当转到竖直位置时，A球对杆的拉力为mg，则此时B球对
14、细杆的作用力为多大？【答案】T=5mg【解析】由题意知，小球AB转动的角速度相等，对A球有：受重力和杆的拉力作用做圆周运动故有：可得球A转动的角速度：再以B球为研究对角，有：Tmg=m2l2=4mg所以杆对球的拉力T=5mg【名师点睛】注意A、B两球用轻杆相连，两球转动的角速度相等，这是正确解题的关键。12如图所示，一根跨越一固定的水平光滑细杆的柔软、不可伸长的轻绳，绳子总长为3L，细杆O点离地高为2L，两端各系一个质量不等的小球A和B，已知球B的质量为m0。球A置于地面上，球B被拉到与细杆同样的高度的水平位置，在绳恰被拉直时从静止释放小球B。假设小球A始终未离开地面，空气阻力不计，重力加速度
15、大小为g。（1）小球B下落到最低点过程中重力的瞬时功率大小如何变化；（2）当B球下落到绳子与竖直方向成60角时重力的瞬时功率多大；（3）若小球B达到竖直位置时，A球与地面压力恰好为零，则小球A的质量是小球B质量的几倍。【答案】（1）先变大后减小 （2） （3）【解析】（1）B球刚开始时速度为零，重力的瞬时功率为零，到最低点时速度水平与重力垂直，重力的瞬时功率也为零，故瞬时功率先变大后减小。（2）下落过程中机械能守恒：重力的瞬时功率为：解得：（3）对A球此时：对B球，由牛顿第二定律：由机械能守恒定律：得：故A球的质量是B球质量的3倍【名师点睛】本题主要考查了机械能守恒定律、牛顿第二定律、瞬时功率。B球刚开始时速度为零，瞬时功率为零，到最低点时速度水平与重力垂直，瞬时功
