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1、第二章33.2基础巩固强化、选择题1.（2013福建文，3）双曲线x2y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（）1A.C.1D.72答案B解析双曲线x2-y2=1的一个顶点为A(1,0), 一条渐近线为 y=x,则 A(1,0)至ij y=x距离为d，亚 2.222. (2013 4匕京理,A. y= 2xC. y= gx6）若双曲线x2-y2=1的离心率为V3,则其渐近线方程为（abB.y=V2xD.y=若x答案B解析本题考查双曲线的离心率及渐近线方程等几何性质.因为离心率e=弧所以c=3a,即b=V2a,由双曲线的焦点在x轴上，所以渐近线方程为y=/2x.选B.3.（2014河北唐山市一模）双
2、曲线x2y2=4左支上一点P（a,b）到直线y=x的距离为2,则a+b=（）A.2B.2C.-4D.4答案A|ab|解析02-=42,，|ab|=2,双曲线左支在直线y=x上方，a0,mb0）的离心率abmb互为倒数，那么（）A. a2+b2=m2C. a2+ b2m2a+ b= m答案A解析双曲线离心率a2+b2a ，-m2b2椭圆离心率e2=m,7a十仔 J由ei e2= 1得amm2 b2 =1,化简得a2+b2=m2.2X5.已知双曲线2 2$= 1(b0)的左右焦点分别为Fi、F2,其一条渐近线方程为y=x,点P(/3, yo)在该双曲线上，则PFi PF2=()A. 12B. -
3、2C. 0D.4答案C解析本小题主要考查双曲线的方程及双曲线的性质.由题意得 b2=2, .Fi(-2,0), F2(2,0),又点P(V3, yo)在双曲线上，y0=1, PFi PF2=( -243, yo) (2 3, yo)= 1+y0=0,故选 C.226.已知Fi、F2是双曲线$一y2=1(a0, b0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正 MF1F2,若边MFi的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为()A. 4+273P+1C. 2B. . 3- 1D. 3+ 1答案解析设线段MFi的中点为P,由已知 F1PF2为有一锐角为60的直角三角形,. |PFi 卜|PF2|的长度分别为c和
4、3c.由双曲线的定义知：(也一1)c=2a,e=p=V3+1.3-1、填空题7,已知圆C：x2+y26x4y+8=0,以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为.22答案x4_ii2=1解析本题考查双曲线的标准方程.令x=0,则y24y+8=0无解.令y=0,则x26x+8=0,.次=4或2.圆C与x轴的交点坐标为(4,0)和(2,0),故双曲线的顶点为(2,0)、焦点为(4,0),故双曲线的标准方程为x-y-=1.4128.双曲线x+y=1的离心率eC(1,2),则b的取值范围是4b答案解析(-12,0),.b0,离心率.12bb,则双22曲线勺y
5、2=1的离心率为ab答案学9解析.两个正数a、b的等差中项是2,等比中项是2乖,且ab,a+b_9解得 a= 5, b= 4)2=2，aRJab=2器,ab,22，双曲线方程为25嘘i.c=-/25+ 16=亚,双曲线x-卜1的离心率e=；=粤三、解答题io.求与椭圆x9+y4=i有公共焦点,且离心率e=坐的双曲线的方程；9425,(2)求虚轴长为12,离心率为4的双曲线的标傕万程.22222答案吟yj(脸91或122解析(1)设双曲线的方程为一=1(40,b0)或y2b2=1(a0,b0).由题设知2b=12,c=5且c2=a2+b2,a4-b=6,c=10,a=8.双曲线的标准方程为七=1
6、或9崇=1.64366436能力拓展提升一、选择题11.已知F1、F2为双曲线Cx2-y2=1的左、右焦点，点P在C上，/F1PF2=60,则|PF1|PF2|=()A.2B.4C.6D.8答案B解析该题考查双曲线的定义和余弦定理，考查计算能力.在AF1PF2中，由余弦定理得，cos60 =2|PFi| |PF2|PFi2十|PF2|2F1F22(|PFi|PF2|2|FiF2|2+2|PFi|PF2|2|PFi|PF2|4a24c22b2+1=+1一2|PFi|PF2|PFi|PF2|故|PFi|PF2|=4.512.设椭圆Ci的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C
7、i13的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为（）22A.A 1122C42=122B.各-52=122D/=1答案A解析本题考查椭圆、双曲线的定义.椭圆C1的离心率为亮，焦点在x轴上且长轴长为26,91的长半轴为13,半焦距为5,13则C1的两个焦点F1（5,0）,F2（5,0）,设C2上的点P（x,y）,|PFi|-|PF2|=80,.才=9,b2=m,.c2=a2+b2=9+m,c=A/9+m,.双曲线的一个焦点在圆上，9+m是方程x2-4x-5=0的根，、/9+m=5,m=16,.双曲线的渐近线方程为y=学x,故选B.2214. （2014天津理，5）已知双曲线by2
8、=1（a0,b0）的一条渐近线平行于直线2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）2xA120C.3x2 上 1251002xB.力202100 25量=1答案解析由于一个焦点在直线y=2x+10上，则一个焦点为（一5,0）,又由渐近线平行于b.一直线y=2x+10.则=2,结合a+b=c,c=5得，a22a2=5,b2=20,双曲线标准方程为x520=1,选A.二、填空题2215. （2014三峡名校联盟联考）已知双曲线上一3=1（a0,b0）的一条渐近线方程为x-ab2y=0,则椭圆x7+y2=1的离心率e=.答案解析ab2b1由条件知y=1,即a=2b,a2-c2=a2
9、b2=3b2,c=木b,c03=而=.222216. （2014天津市六校联考）已知双曲线，一y=1（a0,b0）和椭圆1x6+9=1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为.x2y答案7-31解析椭圆中，a2=16,b2=9,.-.c2=a2-b2=7,，离心率e=乎，焦点（中,0）,，双曲线的离心率改=：=，焦点坐标为（班，0）,a2,c=币,a=2）从而b2=c2a2=3,22双曲线方程为2=1.43三、解答题17 .焦点在x轴上的双曲线过点P(4也3),且点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程.xy答案W-9=1解析因为双曲线焦点在x轴上，
10、所以设双曲线的标准方程为二一9=1但0,b0),abFi(-c,0),F2(c,0).因为双曲线过点P(4也3),329所以Zb?=1.又因为点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，所以加1加2=0,即c2+25=0.所以c2=25.又c2=a2+b2,所以由可解得a2=16或a2=50(舍去).22所以b2=9,所以所求的双曲线的标准方程是16-9=1.18 .设双曲线C:x2y2=1(a0)与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A,B.a(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；757,、，(2)设直线l与y轴的交点为P,且PA=12PB,求a的值.答案喙也ju(庐+8)(2)13分析本题主要考
11、查直线和双曲线的概念和性质、平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.y2=1解析(1)由c和i相交于两个不同的点，知方程组4a有两个不同的实数y=1解.消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0.1a2w0所以1,4a4+8a之1a20解得0aq2且awl.双曲线的离心率+1.e=qa.0a/2且aw1,.e2且ew2,即离心率e的取值范围为,十 ).(2)设A(xi,y)，B(&,y*P(0,1).rt5;.PA=-PB,(x1,y1-1)=12(X2,y21).，5由此信X1=谈2.由于X1,X2都是方程的根，且1a2w。,22172a522a彳f)X2=-2,dOX2=-2.121-a121-a2消去X2,得一fz289.又a。，.a=17.13
