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1、初二数学辅助线1.三角形问题添加辅助线措施 措施1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。具有中点的题目，常常运用三角形的中位线，通过这种措施，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。 措施2：具有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，运用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而运用全等三角形的知识解决问题。 措施3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或运用有关平分线段的某些定理。 措施4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段此类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段提成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。 2.平行四
2、边形中常用辅助线的添法平行四边形（涉及矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相似性质，因此在添辅助线措施上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常用的三角形、正方形等问题解决，其常用措施有下列几种，举例简解如下：（1）连对角线或平移对角线：（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.3.梯形中常用辅助线的添法梯形是一种特殊的
3、四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加合适的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：（1）在梯形内部平移一腰。（2）梯形外平移一腰（3）梯形内平移两腰（4）延长两腰（5）过梯形上底的两端点向下底作高（6）平移对角线（7）连接梯形一顶点及一腰的中点。（8）过一腰的中点作另一腰的平行线。（9）作中位线固然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的核心。作辅助线的措施一：中点、中位线，延线，平行线。如遇条件中
4、有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或导致全等的目的。二：垂线、分角线，翻转全等连。如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的措施，并借助其她条件，而旋转180度，得到全等形，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。三：边边若相等，旋转做实验。如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。四
5、:造角、平、相似，和、差、积、商见。如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种措施：第一，造一种辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。”五：面积找底高，多边变三边。如遇求面积，（在条件和结论中浮现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的核心。如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。此外，国内明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的做法，即“割补”有二百多种，大多数为“面积找底高，多边变三边”。初中几何常用辅助
6、线口诀人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称后来关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可实验。线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。四边形平行四边形浮现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为和。平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果浮现腰中点，细心连上中位线。上述措施不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换
7、，寻找线段很核心。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。三角形中作辅助线的常用措施举例一倍长中线1：已知ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图5-2， 求证EF2AD。二、截长补短法作辅助线。在ABC中，AD平分BAC，ACB2B，求证：ABACCD。三、延长已知边构造三角形：例如：如图7-1：已知ACBD，ADAC于A ，BCBD于B， 求证：ADBC分析：欲证 ADBC，先证分别具有AD，BC的三角形全等，有几种方案：ADC与BCD，AOD与BOC，ABD与BAC，但根据既有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设
8、法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。证明：分别延长DA，CB，它们的延长交于E点， ADAC BCBD （已知） CAEDBE 90 （垂直的定义） 在DBE与CAE中 DBECAE （AAS） EDEC EBEA （全等三角形相应边相等） EDEAECEB 即：ADBC。（当条件局限性时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题发明条件。）四、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。例如：如图8-1：ABCD，ADBC 求证：AB=CD。分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。证明：连接AC（或BD） ABCD ADBC （已知） 12
9、，34 （两直线平行，内错角相等）在ABC与CDA中 ABCCDA （ASA） ABCD（全等三角形相应边相等）五、有和角平分线垂直的线段时，一般把这条线段延长。例如：如图9-1：在RtABC中，ABAC，BAC90，12，CEBD的延长于E 。求证：BD2CE 分析：要证BD2CE，想到要构造线段2CE，同步CE与ABC的平分线垂直，想到要将其延长。 证明：分别延长BA，CE交于点F。 BECF （已知） BEFBEC90 （垂直的定义）在BEF与BEC中， BEFBEC（ASA）CE=FE=CF （全等三角形相应边相等） BAC=90 BECF （已知） BACCAF90 1BDA901B
10、FC90 BDABFC在ABD与ACF中 ABDACF （AAS）BDCF （全等三角形相应边相等） BD2CE六、连接已知点，构造全等三角形。例如：已知：如图10-1；AC、BD相交于O点，且ABDC，ACBD，求证：AD。分析：要证AD，可证它们所在的三角形ABO和DCO全等，而只有ABDC和对顶角两个条件，差一种条件，难以证其全等，只有另寻其他的三角形全等，由ABDC，ACBD，若连接BC，则ABC和DCB全等，因此，证得AD。证明：连接BC，在ABC和DCB中 ABCDCB (SSS) AD (全等三角形相应边相等)七、取线段中点构造全等三有形。例如：如图11-1：ABDC，AD 求证
11、：ABCDCB。分析：由ABDC，AD，想到如取AD的中点N，连接NB，NC，再由SAS公理有ABNDCN，故BNCN，ABNDCN。下面只需证NBCNCB，再取BC的中点M，连接MN，则由SSS公理有NBMNCM，因此NBCNCB。问题得证。证明：取AD，BC的中点N、M，连接NB，NM，NC。则AN=DN，BM=CM，在ABN和DCN中 ABNDCN （SAS） ABNDCN NBNC （全等三角形相应边、角相等）在NBM与NCM中 NMBNCM，(SSS) NBCNCB （全等三角形相应角相等）NBCABN NCBDCN 即ABCDCB。二 由角平分线想到的辅助线 口诀：图中有角平分线，
12、可向两边作垂线。也可将图对折看，对称后来关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。从角平分线上一点向两边作垂线；运用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。一般状况下，浮现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其他状况下考虑构造对称图形。至于选用哪种措施，要结合题目图形和已知条件。与角有关的辅助线（一）、截取构全等几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，但愿同窗们能掌握有关的几何规律，在解决几何问题中大胆
13、地去猜想，按一定的规律去尝试。下面就几何中常用的定理所波及到的辅助线作以简介。如图1-1，AOC=BOC，如取OE=OF，并连接DE、DF，则有OEDOFD，从而为我们证明线段、角相等发明了条件。如图1-2，AB/CD，BE平分BCD，CE平分BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。分析：此题中就波及到角平分线，可以运用角平分线来构造全等三角形，即运用解平分线来构造轴对称图形，同步此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的措施是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与
14、某条线段相等，截取要证明截取后剩余的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。简证：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。此外一种全等自已证明。此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。自已试一试。（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线，运用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。1、 如图2-1，已知ABAD, BAC=FAC,CD=BC。求证：ADC+B=180分析：可由C向BAD的两边作垂线。近而证ADC与B之和为平角。（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一种等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以运用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题
