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1、对数函数的图象和性质 知识讲解1.对数函数的图象和性质ylogaxa10a1时，y0；当0x1时，y1时，y0；当0x0在区间(0，)上是增函数在区间(0，)上是减函数函数ylogax与的图象关于x轴对称2.不同底的对数函数图象的相对位置一般地，对于底数a1的对数函数，在区间内，底数越大越靠近x轴；对于底数0a0,a1)的图象如图所示,则下列结论成立的是() A.a1,c1 B.a1,0c1 C.0a1 D.0a1,0c1【答案】D【解析】由题意可知y=loga(x+c)的图象是由y=logax的图象向左平移c个单位长度得到的,结合题图知0c1.根据单调性易知0a1.2.下列关于函数的单调性叙
2、述正确的是（ D ） A.在R上为增函数 B.在R上为减函数 C.在区间上为增函数 D.在区间上为减函数【答案】D3.函数的单调递增区间是( )ABCD【答案】A【解析】由，得到，令，则在上递减，而在上递减，由复合函数单调性同增异减法则，得到在上递增，故选：A4. 设a，b，c均为正数，且，则()Aabc Bcba Ccab Dbac【答案】A【解析】由函数y2x，y，ylog2x，ylogx的图象知0ab10,且a1)的图象过定点()A.(1,2)B.(2,1)C.(-2,1)D.(-1,1)【答案】D【解析】令x+2=1,得x=-1,此时y=1.6.若函数f(x)=log2(x2-ax-3
3、a)在区间(-,-2上是减函数,则实数a的取值范围是()A.(-,4) B.(-4,4 C.(-,4)2,+)D.-4,4)【答案】D【解析】令t(x)=x2-ax-3a,则由函数f(x)=log2t在区间(-,-2上是减函数,可得函数t(x)在区间(-,-2上是减函数,且t(-2)0,所以有-4a4,故选D.7.函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）A或 B C D【答案】B【解析】，因为在上单调递增，当时，外函数为减函数，根据复合函数“同增异减”可得在定义域内为减函数不满足题意，当时，外函数为增函数，根据复合函数“同增异减”可得在定义域内为减函数且，所以满足题意，故选择B8.已知函数f
4、(x)=(a-1)x+4-2a,x0a-1+4-2a1，解得a(1,29.已知a0且a1,函数y=logax,y=ax,y=x+a在同一坐标系中的图象可能是() 【答案】C【解析】函数y=ax与y=logax的图象关于直线y=x对称,再由函数y=ax的图象过(0,1),y=logax的图象过(1,0),观察图象知,只有C正确.10.y=2x与y=log2x的图象关于()A.x轴对称B.直线y=x对称 C.原点对称D.y轴对称【答案】B【解析】函数y=2x与y=log2x互为反函数,故函数图象关于直线y=x对称.11.已知f(x)为R上的增函数，且f(log2x)f(1)，则x的取值范围为()A
5、. B.(2，) C(2，) D(0，1)(2，)【答案】C【解析】依题意有log2x1，所以x2.12.已知函数为上的偶函数，当时，则关于的不等式的解集为（ ）ABCD【答案】C【解析】由于函数在上为增函数，所以，函数在区间上为增函数，由于函数为上的偶函数，由可得，可得，解得.因此，关于的不等式的解集为.故选：C.13.已知a0，且a1，则函数yxa与ylogax的图象只可能是()【答案】C【解析】当a1时，函数ylogax为增函数，且直线yxa与y轴交点的纵坐标大于1；当0a1，若仅有一个常数c使得对于任意的xa，2a，都有ya，a2满足方程logaxlogayc，则a的值为_【答案】2【
6、解析】因为logaxlogayloga(xy)c(a1)，所以y.因为a1，所以y在xa，2a上单调递减，所以ymaxac1，yminac1，因为loga22c3且c值只有1个，所以c3，即loga21，故a2.3.已知函数f(x)=log2x,x0,3x,x0,直线y=a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点,则a的取值范围是. 【答案】(0,1【解析】函数f(x)的图象如图所示,要使直线y=a与f(x)的图象有两个不同的交点,则0a1.4.已知函数ylog在区间(2，)上是减函数，则实数a的取值范围是_【答案】(，4【解析】令tx2axa，则函数f(x)在区间(2，)上是减函数，可得函数t
7、在区间(2，)上是增函数，且t(2)0，所以解得a4，所以实数a的取值范围是(，4答案：(，4三、解答题1.比较下列各组数的大小；(1)log0.90.8，log0.90.7，log0.80.9；(2)log32，log23，log4.【答案】(1)log0.80.9log0.90.8log0.90.7;(2)log4log32log23【解析】(1)因为ylog0.9x在(0，)上是减函数，且0.90.80.7，所以1log0.90.8log0.90.7.又因为log0.80.9log0.80.81，所以log0.80.9log0.90.8log0.90.7.(2)由log31log32lo
8、g33，得0log321.又因为log23log221，log4log410，所以log4log32log23.2.已知实数x满足.求函数y的值域【答案】【解析】y(log2x1)(log2x2)logx3log2x2.因为3logx，所以log2x3.令tlog2x，则t，yt23t2，所以t时，ymin；t3时，ymax2.故函数的值域为.3.已知函数f(x)log4(ax22x3)(1)若f(1)1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由【答案】(1)f(x)的单调递增区间是(1,1)，递减区间是(1,3)；(2)存在实
9、数a，使f(x)的最小值为0.【解析】(1)f(1)1，log4(a5)1，因此a54，a1，这时f(x)log4(x22x3)由x22x30，得1x3，函数f(x)的定义域为(1,3)令g(x)x22x3，则g(x)在(1,1)上递增，在(1,3)上递减又ylog4x在(0，)上递增，所以f(x)的单调递增区间是(1,1)，递减区间是(1,3)(2)假设存在实数a，使f(x)的最小值为0，则h(x)ax22x3应有最小值1，因此应有解得a. 故存在实数a，使f(x)的最小值为0.4.已知，函数（1）当时，解不等式；（2）若对于任意在区间上的最大值与最小值的和不大于1，求m的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，所以， 则解得不等式的解集为；（2）由题易知：为增函数，则在区间上的最大值与最小值分别为 对于任意在区间上的最大值与最小值的和不大于1，等价于对于任意恒成立，即对于任意恒成立设，因为，所以在上单调递增，所以，令，解得 。综上，m的取值范围为
