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1、模拟测试题(七) 考生注意:(1)本试卷共三大题,23 小题,满分 150 分. (2)本试卷考试时间为 180分钟.一、选择题(本题共 8小题,每题 4分,共 32分)函数y = x + sinx及其表示的曲线().(A) 没有极值点,有无限个拐点 ;(B) 有无限个极值点和无限个拐点 ;(C) 有无限个极值点,没有拐点 ;(D) 既无极值点,也无拐点 .一 1(x2 + y)sin； x2 + y2 丰 0设 f (x； y)彳Jx2 + y2则在(0,0)点处，f (x, y)().0,x 2 + y 2 = 0(A) 连续但二偏导数不都存在 ;(B) 二阶偏导数存在但不连续;艺a 2,
2、 艺 a4, 艺 a6 中(n n n(C) 连续且二偏导数存在但不可微 ;(D) 可微 .(3)(一、三)设级数艺a收敛，则下列三个级数nn=1n=1n=1(A)、均收敛；(B)仅、收敛；(C)仅收敛；(D)、均未必收敛.I x -1, x 0 彳 2(3)(二)设 f (x) =| x L g(x)=仁 x s,则向量组(I)必线性无关；(B) r s,则向量组(I)必线性相关；(C)若向量组(I)线性相关,则必有rns ； (D)若向量组(I)线性无关则必有r n 时必有 B C .(一)设随机变量X F(n,n),记a PX 1,卩PX 1,则().(A) a 卩；(B) a P ；
3、(D) a、卩的大小与n的取值有关.一 、 I X3 - x2 - x + 11 +2x, X 1 (7) (二)设 f (x)=则在 x =1 处 f (x)().2,x P(A),则下列不等式正确的 是( ) . P(A I B) P(A) ；(B) P(B I A) P(B)；(C) P(AI BC) P(A) ；(D) P(BC I A) P(BC).(8) (一、三) 以下命题不正确的是 ( ) .(A) 若P(A) 0,则事件A与任意事件B相互独立；(B) 若X是只取一个常数C的随机变量，即X三C,则X和任意随机变量相互独立；(C) 若P(A) 1 ,则事件A与任意事件B相互独立；
4、(D) 若P(A u B) P(A) + P(B),贝卩事件A、B互不相容.(二)设平面曲线由极坐标方程r = a(1 - cos0 )给出，则此曲线的周长为().(A)6a;(B)4a;(C)8a;(D)2a二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分)1 t 2(9) 若 limJx dt = 1,贝寸 a =.x - o x 一 sin x o J a +1x +1 y + 2 z 1_(10) ()与直线L :x =1，y = t 一1，z = t + 2及L :=均平彳丁且过原点的1 2 1 2 1 平面方程为.12n(10) (一)limG + + )=n T83323n(10)
5、 (三)差分方程y一 2y = 2 x 3t的通解是.t + 1t(11) 设A 0,AC 一 B2 0,则在条件x2 + y2 =1下，函数z = Ax2 + 2Bxy + Cy2的极大值与极小值之和 = .(12) (一)设 L 是折线 y = 1- 11 x I 由(0,0)到(2,0)的一段，则J xdy =.Larctan x 一 arcsin x(12) (二、三)lim=.x-0xsin2 x(13) 设向量组(I)：a ,a ,a和向量组(H)：a +心,a + /a ,a + /a ,若这两个向量组等价,123122331则数 t 应满足的条件是.(14) (一、三)设随随机
6、变量X与Y不相关，且方差分别为4和9,则随机变量3X -4Y的方差为的通解为dy(14) (二)微分方程丁 =dx三、解答题(本题共9小题，总分94分)lnn+1) xn的收敛域.(15) (一)(本题满分10分)求幕级数兰(sinn=1(15)(二、三)本题满分10分)计算二重积分(2x - y)dxdy,其中 D = (x, y)1 x2 + y2 x + y +1.(16) (本题满分10分)设函数f (x, y)二次可微，且f主0,试证明:对任意的常数C,方程oyf (x, y) = C表示一条直线的充要条件是俘)2字-2 f f Of +俘)2字=0.oy ox2ox oy oxoy
7、 ox oy 2(17) (一、二)(本题满分 10 分)求摆线 x = a(t - sin t), y = a(1 - cos t) 一拱(0 t 2兀),与 x轴所围成图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积.(17) (三)(本题满分10分)求抛物线x2 + y2 = 1的切线与二坐标轴所围成三角形面积的最大值.(18) (本题满分10分)设f (x)有二阶连续的导数,z = f (ex sin y)满足方程：o2z o2z+= e2xz,求f (x).ox2 oy 2(19) (本题满分10分)计算广义积分I+ln(ex)dx.01 + x2(20) (本题满分11分)设a、卩均为3维实单位
8、向量，且aT卩=0,A =aT卩+PT + 2E,其中E为3阶单位矩阵.(1) 证明 A 为实对称矩阵 ；(2) 写出经正交变换将二次型 f = xTAx 化成的标准形.(3) 问A是否为正定矩阵？说明理由.(21)(本题满分11分)设A、B是两个n阶的非零矩阵，满足AB = 0, A* h 0.若a ,a，,a12k是齐次线性方程组 Bx = 0的一个基础解系,a是任意一个n维列向量，证明Ba可由a ,a，,a ,a线性表示，并问何时线性表示是唯一的.12kAe-x2+ 2x, x 1(22)(、三)(本题满分11分)已知二维随机变量X的概率密度为f (x) = B,1 x 3,0, 其它
9、其中A、B为大于零的常数,且已知P j| X = 4.求：(1) A、 B 的值；1t2(2) 随机变量X的分布函数F(x)；(结果用(x)表示，(x) = Je 2 dt)2兀(3) 数学期望E(X).(22) (二)(本题满分11分)设曲线y二y(X)在点(1,4)处与直线4x - 4y - 3二0相切, 且y二y(x)满足方程y = 6 Jy.求该曲线在相应x g -1,1上点(x,y)处的曲率.(23) (一、三) (本题满分 11分)设随机变量 X、Y 相互独立且同分布:PX = -2 = PX = 2 = 2,且Z = XY，试证明X、Y、Z两两独立，但不相互独立.x lim n 1 + 3n + xn, x 0(23)(二)(本题满分11分)设f (x) = ns,在点x = 0处可导,a ln(1- x) + b,x 0求a、b及11 f (x)dx的值.-1
