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1、MATLAB作业给定一个时间序列，使用三次样条插值方法进行均匀内插（题目的相关说明：按题目要求编写一个MATLAB程序函数，并把自己编制程序所得的结果与MATLAB库函数分析结果进行对比。理论基础：时间序列的概念：时间序列是一种定量预测方法，又称简单外延法，时间序列分析是根据系统观测得到的时间序列数据，通过曲线拟合和参数估计来建立数学模型的理论与方法，时间序列分析可分为以下三种情况（1）把一个时间序列的值变动为N个组成部分，通常可以分为四种a、倾向变动，又称长期趋势变动b、循环变动，又称周期变动c、季节变动，即每年有规则的反复进行变动d、不规则变动，即随机变动。然后把这四个综合到一起得出预测的
2、结果。虽然分成这四部分,但这四部分之间的相互关系是怎么样的呢，目前一般采用相乘的关系，其实各个部分都是在其他部分作用的基础上进行作用的，所以采用相乘是有一定依据的，此种方法适合于短期预测和库存预测（2）把预测对象、预测目标和对预测的影响因素都看成为具有时序的，为时间的函数，而时间序列法就是研究预测对象自身变化过程及发展趋势，如果未来预测是线性的，其数学模型为YT+L=aT+bTL,YT+L为未来预测值，aT为截距，bT为斜率，L为由T到需要预测的单位时间数（如5年、10年等）（3）根据预测对象与影响因素之间的关系及影响程度来推算未来，与目标的相关因素很多，只能选择那些因果关系较强的为预测影响的
3、因素，此时间序列法用于短期预测比较有效，若要用于长期预测，还需要结合其他方法才行。三次样条插值的实际应用：在制造船体和汽车外形等工艺中传统的设计方法是，首先由设计人员按外形要求，给出外形曲线的一组离散点值任“岛丛=0丄用，施工人员准备好有弹性的样条（一般用竹条或有弹性的钢条）和压铁，将压铁放在点任X的位置上，调整竹条的形状，使其自然光滑，这时竹条表示一条插值曲线，我们称为样条函数。从数学上看，这一条近似于分段的三次多项式，在节点处具有一阶和二阶连续微商。样条函数的主要优点是它的光滑程度较高，保证了插值函数二阶导数的连续性，对于三阶导数的间断，人类的眼睛已难以辨认了。样条函数是一种隐式格式，最后
4、需要解一个方程组，它的工作量大于多项式拉格朗日型式或牛顿型式等显式插值方法。三次样条插值函数的定义设在区间上，被插函数y=f（x）在1个节点恋和这些点上的函数值分别为弘甘儿0丄用。若满足（珂）=o丄用；（忑）在每个小区间召心+1上至多是一个三次多项式；纨E在只打上有连续的二阶导数，则称纨E为/关于剖分fl=XoX1兀的三次样条插值函数，称5忑为样条节点。要在每个子区间味和上构造三次多项式E（x）=（召）=&搭+07?+?jX+di心“小=0丄用-1，共需要也个条件，由插值条件盼用,提供了”+1个条件；用每个内点的关系建立条件S（召+0）=応-0）g（再+0）=（兀-0）割（X+0）=Y旳_0）
5、川=0丄卫_1又得到弘一3个条件；再附加两个边界条件，即可惟一确定样条函数了。用待定系数法确定了构造样条函数的存在性和惟一性。在具体构造样条函数时一般都不使用计算量大的待定系数法。边界条件有三类:(1) m边界条件：给定曲线在两端点处的切线斜率，s(XO)=mO,s(Xn)=Mn.即两个边界节点的一阶导数值为给定值：mO,Mn.(2) M边界条件：令被插函数在两端点的二阶导数为零，s(XO)=mO,s(Xn)=Mn.即两个边界节点的二阶导数值为给定值：m0,Mn.(3) 周期性边界条件：令被插值函数为周期函数，周期为b-a=xn-xO,故有yO=yn.相应的也要求样条函数S(x)也是周期函数，
6、在端点上有s(XO)=s(Xn);s(XO)=s(Xn).算法原理：例如：x=012345678910;y=020-4040-2031;待求的三次多项式函数s(x)在010上有连续的一阶，二阶导数.我们通过简单的讨论来认识问题。在第一区间01、第二区间12上考虑两个三次多项式s(x)二sl*x3+s2*x2+s3*x+s4r(x)二rl*x3+r2*x2+r3*x+r4示意图：可以得到s(0)=sl*03+s2*02+s3*0+s4=0(1)s(l)=sl*3+s2*2+s3*l+s4=2(2)r(l)=rl*23+r2*22+r3*2+r4=2(3)r(2)=rl*23+r2*22+r3*2
7、+r4=0(4)一阶导函数s(x)=3*sl*x2+2*s2*x+s3r(x)=3*rl*x2+2*r2*x+r3由一阶导数的连续性且在1点处相等，有3*sl*2+2*s2*l+s3=3*rl*2+2*r2*l+r3(5)二阶导函数s(x)=6*sl*x+2*s2r(x)=6*rl*x+2*r2由二阶导数的连续性且在1点处相等，有6*sl*l+2*s2=6*rl*l+2*r2(6)由m边界条件s(0)=1.6,r(2)=0.3有3*s1*02+2*s2*0+s3=1.6(7)3*r1*22+2*r2*2+r3=0.3(8)M边界条件s(0)=-1,r(2)=1有6*s1*0+2*s2=-1(7
8、)6*r1*2+2*r2=1(8)由周期性边界条件s(0)=r(2)s(0)=r(2)有3*s1*02+2*s2*0+s3=T(7)3*r1*22+2*r2*2+r3=1(8)这样，对于两个多项式的8个未知量，我们给出了8个方程。三次样条曲线的难点在于，我们不能分段去求解方程，完成绘图。(本题中为了简化运算以及和MATLAB程序结合起来，使用下面两式3*s1*02+2*s2*0+s3=03*r1*22+2*r2*2+r3=0(把它当作自然条件来实现)2.算法步骤:流程图:步骤：1）输入一个时间序列2）输入一个初始值3）进行循环4）通过程序得出函数曲线5）依次得出的曲线连接成一段完整的曲线6）超
9、出时间序列即刻终止，程序运行结束3.MATLAB程序：x=0,100,200,300,400,500,600,700,800,900,1000;y=0,2,0,-4,0,4,0,-2,0,3,1;tici=1；whilei10;A=x(1,i).A3,x(1,i).A2,x(1,i),1,0,0,0,0;x(1,i+1).A3,x(1,i+1).A2,x(1,i+1),1,0,0,0,0;0,0,0,0,x(1,i+1).A3,x(1,i+1).A2,x(1,i+1),1;0,0,0,0,x(1,i+2).A3,x(1,i+2).A2,x(1,i+2),1;3*x(1,i+1).A2,2*x(
10、1,i+1),1,0,-3*x(1,i+1)/2,-2*x(1,i+1),-1,0;6*x(1,i+1),2,0,0,_6*x(1,i+1),_2,0,0;3*x(1,i)/2,2*x(1,i),1,0,0,0,0,0;0,0,0,0,3*x(1,i+2)2,2*x(1,i+2),1,0;B=y(1,i),y(1,i+1),y(1,i+1),y(1,i+2),0,0,0,0;c=ABs1=c(1,1),s2=c(2,1),s3=c(3,1),s4=c(4,1);x1=100*(i_1):100*i;figure(1);y1=s1*x1.A3+s2*x1.A2+s3*x1+s4;plot(x1,
11、y1);holdon;i=i+1;endtoc运行结果：c=-0.00000.0006000.0000-0.00180.2400-8.0000si=-4.0000e-006s2=6.0000e-004s3=0c=-0.00000.00000.01501.00000.0000-0.00240.4950-31.0000si=-5.0000e-007s2=1.7319e-018s3=0.0150c=0.0000-0.00601.4400-112.0000-0.00000.0084-2.8800320.0000s1=8.0000e-006s2=-0.0060s3=1.4400c=-0.00000.00
12、24-0.9000104.0000-0.00000.0024-0.9000104.0000s1=-2.0000e-006s2=0.002s3=-0.9000c=1.0e+003*-0.00000.0000-0.00480.70400.0000-0.00000.0072-1.2960si=-8.0000e-006s2=0.0108s3=-4.8000c=0.0000-0.00603.3750-621.0000-0.00000.0012-0.9450243.0000s1=3.5000e-006s2=-0.0060s3=3.3750c=1.0e+003*0.0000-0.00000.0050-1.0
13、800-0.00000.0000-0.00671.6640s1=4.0000e-006s2=-0.0078s3=5.0400c=1.0e+003*-0.00000.0000-0.00070.1940-0.00000.0000-0.00451.2180si=-2.5000e-007s2=7.5000e-004s3=-0.6825c=1.0e+003*-0.00000.0000-0.01143.21600.0000-0.00000.0129-4.0740s1=-5.2500e-006s2=0.0134s3=-11.4000MATLAB库函数c程序：x=0,200,400,600,800,1000,
14、1200,1400,1600,1800,2000;xl=0:l:2000;y=0,-20,0,16,0,-12,0,8,0,4,0;ticyl二interpl(x,y,xl,spline);plot(x,y,，ok，,x1,y1,，_r，);toe库函数运行结果：4.结果分析:如上两幅图进行对比看出编制的程序函数基本能达到题目要求，但与MATLAB库函数得到的图形对比还是有些不足.1）图形分析：编写的程序运行出的图形光滑度不是很好，尤其是在y=0附近的曲线比较粗糙。相同时间间隔左右端点处曲线的连接不是很好。2）程序分析：编写的程序比较杂乱，占用内存大。3）时间分析：Elapsedtimeis0.766000seconds.（所编程序运行出结果的时间）Elapsedtimeis0.407000seconds.（库函数运行出结果的时间）运行出结果所用时间相对库函数所用时间长。
