《2023年安徽宣城中学高一自主招生考试数学试卷真题（含答案详解）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年安徽宣城中学高一自主招生考试数学试卷真题（含答案详解）（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2023宣城中学自主招生数学试题本卷共分两大部分 共计4页温馨提示：1.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.试卷包括试题和答题卷两部分.请务必在答题卷上答题，在试题卷上答题无效.3.考试结束后，请将试题卷和答题卷一并交回.第部分 客观题（共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.）1已知实数a，b，则下列选项中正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则2若，且，则的值为（）A1BCD1或3数的个位数字为（）A1B3C7D94平面四边形中，则的取值范围为（）ABCD5关于x、y的二元二次方程正整数解的组数为（）A3组B4组C5
2、组D6组6从0、1、2、3、4、5、6这七个数字中，取三个不同的数组成一个十位数字大于个位数和百位数的三位数，这样的三位数的个数为（）A40B48C55D707已知实数a、b满足，且.则（）ABC4D8在凸四边形中，则的最大值为（）ABCD3第部分 主观题（共110分）二、填空题（共10小题，每小题5分，共计50分）9若关于x的不等式组有且仅有四个正整数解，则实数的取值范围为 .10计算： .11在实数范围内分解因式： .12已知函数和，其中、均可取1、2、3、4、5、6中的任一数.则这两函数图象有交点的概率为 .13已知，则 .14已知，则 .15已知关于的方程有两个不等实根，则实数的取值范
3、围为 .16如图，边长为3的正方形，分别是上两点，且，连接交于点，若图中阴影部分面积是正方形面积的，则的周长为 .17如图，边长为6的正方形ABCD中，E在边AD上，且，M为CD的中点，P在线段BM上，则EP的最小值为 .18如图，中， 分别为边上三点，在边上，且和均为等边三角形.则边上的高为 .三、解答题（共5小题，每小题12分，共计60分.解答时请写出必要的步骤或文字说明）19已知二次函数（a为常数）.(1)当，时，求的值；(2)当时，二次函数的最小值为，求a的值.20在平面直角坐标系中，直线交曲线于A、B两点，交x轴于点C，过点A作轴于点D，且，连接BD.(1)若A点的坐标为，求线段AB
4、的长；(2)若，且的面积为3，求k的值.21解下列关于x、y、z的方程组：.22如图，圆内接四边形ABCD中，G为对角线AC、BD的交点，过点D作交AC于E，且，F在线段GD上，且，连接CF.(1)求证：；(2)求证：.23在平面直角坐标系中，直线l与抛物线交于、两点，点在抛物线上，是轴上一动点.(1)求直线l和抛物线的解析式；(2)如图1，为抛物线上位于直线l下方一动点，过作垂直于x轴交直线l于，当线段长度最大时，求的最大值；(3)如图2，为抛物线的顶点，y轴上是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.试卷第3页，共4页1C【分析】赋值判断A，B，D，利用不等式性质判
5、断C.【详解】对于A选项，满足，此时，不满足，故A错误；对于B选项，满足，此时，不满足，故B错误；对于C选项，所以，故C正确；对于D选项，满足，此时，不满足，故D错误，故选：C.2B【分析】等式两边同时平方，或，验证即可.【详解】由题意知，等式两边同时平方，得，即，解得或，当时，所以与矛盾.所以.故选：B3C【分析】先将转化为，用二项式定理展开可知，的个位数字与的个位数字相同，将化为，再将用二项式定理展开可知所以的个位数字与个位数字相同，即可求解.【详解】因为而、个位数均为，所以的个位数字与的个位数字相同，而因为、个位数均为，所以的个位数字与个位数字相同，故的个位数字为.故选：C4D【分析】如
6、图，由题意可得，结合，计算即可求解.【详解】如图，延长、，交于点，延长，交于点，由，得，所以，得，所以.故选：D5B【分析】对变形为，根据x、y为正整数求解即可.【详解】因为，所以，即，所以，因为x、y为正整数，所以和为30的约数，当，时，即，符合题意，当，时，即，不符合题意，当，时，即，符合题意，当，时，即，符合题意，当，时，即，不符合题意，当，时，即，不符合题意，当，时，即，符合题意，当，时，即，不符合题意，综上，二元二次方程正整数解的组数为4组，故选：B.6C【分析】由题意分两种情况讨论：选出的数字中含有0与不含有0.分别求出对应满足题意的三位数，结合分类加法计数原理即可求解.【详解】由
7、题意知，分两种情况讨论：若选出的数字中含有0，则0必须在个位上，此时只需在其它6个数中选出2个，大的放在十位，小的放在百位，共有个三位数；若选出的数字中不含有0，此时只需在0以外得其它6个数中选出3个，最大的放在十位，其他两个放在百位和个位，共有个三位数，综上，满足题意得三位数共有55个.故选：C7D【分析】根据已知条件化为，得，是方程的两根，利用根与系数关系计算即可得结果.【详解】因为，即，所以有：，是方程的两根，所以，所以.故选：D8C【分析】如图，作的外接圆圆O，当且仅当三点共线时，取到最大值，结合即可求解.【详解】如图，所以是直角三角形，作的外接圆，为圆心，延长，取，则，所以点在以为直
8、径的圆上，故为等边三角形，当且仅当三点共线时，取到最大值.此时，为的中点，所以，故，又，所以.故选：C9【分析】根据题意，求得不等式组的解集，结合题意，得到，即可求解.【详解】由不等式组，解得，要使得不等式组的解集中有且仅有四个正整数解，则，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：.10【分析】利用特殊角三角函数值、根式与指数幂的运算和绝对值求解即可.【详解】，故答案为：11【分析】将原式分解成，即可求解.【详解】原式.故答案为：12【分析】根据已知条件联立两函数，解得，结合、的取值，根据古典概型求概率公式即可求解.【详解】根据已知条件联立，即，整理有：，因为两函数图象有交点，所以，即，当时，无
9、解；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；综上，满足条件的、共对，又根据已知条件、的所有取值情况为种，所以两函数图象有交点的概率为.故答案为：13【分析】借助赋值法，分别令、计算即可得.【详解】令，则有，令，则有，令，则有，故.故答案为：.14#【分析】对变形为，配方成，得到，进而得到答案.【详解】因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以，故答案为：.15【分析】根据已知条件分，两种情况讨论，结合题意方程有两个不等实根，则，均为方程的根，根据题意两种情况下的取值范围取交集即可.【详解】根据已知条件：当时，为，整理有，若，则方程无解，若，解得，若是方程的解，则且，解得；当时，为，整理有，
10、若，则方程无解，若，解得，若是方程的解，则，解得或；因为关于的方程有两个不等实根，所以以上两个根都是方程的根，取交集则.故答案为：.16#【分析】由题意，易证，设，根据相似三角形的性质可得、，进而由阴影部分的面积建立关于x得方程，得，表示出的周长为，求出即可求解.【详解】由题意知，在和中，所以，则，又，所以，故，即，所以，得，设，则，所以，得，所以，所以阴影部门的面积为，又，所以，整理得，得，所以的周长为，又，所以，故的周长为.故答案为：17【分析】依题意，当时，EP最小，利用，求解即可.【详解】当时，EP最小，因为边长为6的正方形ABCD中，E在边AD上，且，M为CD的中点，所以，所以，又因
11、为，所以，所以EP的最小值为，故答案为：.18【分析】根据三角形相似得到，再根据锐角三角形中的正弦和余弦，求得，作出中上的高，利用的正弦，即可求得结果.【详解】对，因为，故，则；对，因为，故，则；故，即，故，故；取中点为，连接，如下所示：因为为等边三角形，故；在中，；在中，解得；，解得；在中，即，解得，故；过作，垂足为，在中，即，解得.故边上的高为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：处理本题的关键是能够根据三角形相似得到，进而求得，从而利用锐角三角形的正弦和余弦解决问题.19(1)2(2)或【分析】把换成后代入所求算式后计算即可；先求出二次函数的对称轴，再分对称轴的值与给定区间的大小关系分别讨论
12、最值，求出符合条件的即可.【详解】（1）即且，又.（2），对称轴为，当时，即故当时，符合当时，即故当时，（舍去）当时，即故当时，符合综上：或.20(1)(2)6【分析】（1）将点代入曲线可得，由点坐标可求出点，进而得到直线的方程，联立方程得到点坐标，线段长度即可求.（2）由题意，由直线的方程可依次得到点的坐标，联立方程，借助韦达定理，可求点的坐标，由得到，由此求出k的值.【详解】（1）因为点在曲线上，所以，因为，所以，由得，故，由得，所以线段AB的长为.（2）当时，所以，由得，所以，故，所以，所以，故.21答案见解析【分析】由题意，结合平方和、立方和公式，解方程组即可求解.【详解】由，得，即，
13、解得或3或4，或或或或或.22(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）结合题意可证明，结合平行线的性质与相似三角形的判定定理即可得；（2）借助相似三角形的性质与判定定理即可得.【详解】（1），在和中，有，四边形为平行四边形， ， ，；（2），即，.23(1)，(2)(3)存在，【分析】（1）利用待定系数法即可求出直线和抛物线方程；（2）设，则可得到，利用二次函数性质得出点的坐标，由三角形两边之差小于第三边即可求；（3）借助的外接圆，由题意可求出其圆心，利用圆心到圆上点距离为半径，即可求出点的坐标.【详解】（1）设直线的方程为，由题意，由得，所以直线，由得，所以抛物线方程为：.（2）设，则，所以，因为， 所以当时， ，所以，因为 ， 所以.（3）设的外接圆圆心为，因为，所以，因为，由题意，所以，设，则，所以，即存在.答案第13页，共14页
