从数学的美说开去(董金昌）

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1、从数学的美说开去(数学创新与科学）求精中学 董金昌 数学很好玩,数学很漂亮。 在数学家眼中，数学就像一位恋人 在数学家大会上，一位位数学大师用洋溢着激情的字眼描绘数学。虽然从呀呀学语之时就学着数：一、二、三、四但数学真的那么美吗？对于大多数中国学生来说，他们感受不到数学的魅力。 现在，中小学里爱好数学、成绩好、又学得比较轻松的学生不太多。多数学生对学习数学缺乏兴趣，花的力气不少，但成绩并不好，数学成了学习的负担。 著名数学家、中科院数学与系统科学院院长杨乐认为，这其中有教材内容过多过繁的原因；有教师水平不齐整，教得不够活的原因；更有现行考试模式的影响，因为数学是主科，总归要考，考试指挥棒的牵制

2、力是很大的。“我们的数学教育必须改革！”北京师范大学数学系一位教授参与制定了新的中小学数学课程标准，他对现在的数学教学很有些不满：“数学并不枯燥，是我们把它教枯燥了。不能再让孩子学得那么痛苦，要把数学的美丽还给他们。” 这几年，我国参加国际数学奥林匹克竞赛，获得的金牌总数常常高居榜首，成为当之无愧的数学“奥赛”第一大国。有人认为，中国的数学“新苗”正在成长，意味着中国的数学研究前景大有希望。但也有人担心，为竞赛而刻意进行的强化训练，实际上和让孩子喜爱并且研究数学背道而驰。“现在这类事情在中小学搞，无非是让学生做些复杂的、偏一些的题，这些解题技巧多半又是“填鸭”式地“灌”给学生，学生没有消化思考

3、的时间，又忽略了兴趣，很难把它真正变成自己的东西，反倒弄成了负担。”数学家杨乐对此表示担忧。 不光多数中小学生不爱学数学，不少大学生对数学也没兴趣，甚至连理工科大学生也往往忽略数学学习。只是以后需要用到大量的数学知识时，这些学生才恍然大悟，原来数学如此重要。 前来参加数学大会的著名数学家、菲尔茨奖获得者丘成桐，在哈佛大学曾碰到一件令他十分惊讶的事情。有一天，几个从清华大学来这里念工程学的学生找到丘成桐，求教几何方面的问题，问如何把图像运动表示出来。丘成桐感到很奇怪，这不是微分几何方面的古典问题吗，原本是在读本科时就应该掌握的数学知识。他说：“希望即使是学工程的学生也要多花点时间在纯数学上，打破

4、门户之见。” 对于丘成桐的这番话，一位电力系统专业出身的工程师颇有感触。他最近在编写一个应用软件时，就屡屡遇到数学问题的障碍，不得已三番五次地找一位数学博士请教。他感叹，真是“数”到用时方恨少！ 无论对于传统的工科、理科，还是信息、经济、管理等新兴学科，甚至于人文学科的学习来说，数学方法都是必要的基础和工具。杨乐教授说，研究生的培养、高层次人才所特别需要的创新能力的培养，都离不开数学基础。 北京师范大学刘兼教授透露，目前我国中小学数学教育改革正在逐步推进。记者了解到，新的数学课程标准已经拟定。新标准对目前“繁”、“难”的数学内容适当做了删减，并要求教材编写结合学生生活实际，激发学生学习数学的兴

5、趣。 而大学的数学教育改革也正引起关注和讨论。我国的大学数学教育，一定程度上存在重理论轻实践的倾向，而且数学课程的设置也不灵活。南开大学数学系定光桂认为，对于非数学专业学生的数学教育，必须以数学的应用和应用数学为主要教学内容。同时，要开设多门供不同专业学生选修的课程。即使对于数学专业的学生，也不要将课程规定得太死，除了必修的数学基础课外，大量开设一些数学选修课，让学生们得以独立自由地发展，发挥他们的创造性。1.数学是美的。大数学家克莱因认为：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作。音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数

6、学能给予以上的一切。”美作为现实的事物和现象，物质产品和精神产品、艺术作品等属性总和，具有：匀称性、比例性、和谐性、色彩变幻、鲜明性和新颖性。作为精神产品的数学就具有上述美的功能。数学，始终是美的。审美教育的范围正日益广泛地渗透到人类社会的各个领域之中。人们不仅通过音乐、艺术，而且也通过自然美、社会美、科学美，得到美的熏陶，美化精神境界。数学教学的目的之一，应当是让学生对数学美具有一定的审美能力，这不仅有利于激发他们对数学科学的爱好，也有助于他们的创造发明能力。基于上面数学美的论述，下面就谈谈数学美的功能。1.1 数学美能够培养人们创造发明数学的能力。 首先，我们可以看一看如下例子。据说，古希

7、腊数学家帕普斯是丢番图最得意的一个学生，他很小的时候就跟随丢番图学习数学。有一天他向老师请教一个问题：有四个数，把其中每3个相加，其和分别为22、24、27、20，求这四个数。这个问题看起来很简单，但具体做起来却有一定的复杂性。帕普斯请教丢番图有没有什么巧妙的方法可以解答这个问题。丢番图提出了一个巧妙的解法，他不是分别设四个未知数，而是设四个数之和为x，那么四个数就分别为x-22,x-24,x-27和x-20,于是有方程x=(x-22)+(x-24)+(x-27)+(x-20)。解之得x=31。从而得到四个数分别为9、7、4、11。对老师漂亮的解法帕普斯非常佩服，从而坚定了毕生研究数学的意愿，

8、后来成了一位著名的数学家。1.2 而在教学过程中具体表现如何呢？众所周知，圆锥曲线的标准方程之形式是如此简洁、优美、匀称，它给人以一种美的享受。就双曲线而言，平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值是常数（小于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线。如图，取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，设M(x,y)是双曲线上的任意一点，焦距是2c，与F1,F2两点距离之差绝对值等于常数2a，则得其标准方程为 =1 ，在数学过程中 ，可以提出为什么要取“2c”与“2a”，而不取“c”与“a”呢？为什么要引进b呢？为何叫标准方程呢？1.3 我们说，数学的发明和创造，除了

9、反映客观世界的数量关系和空间形式，还来源于对美的追求。衡量一个理论是否成功，不仅有实践标准，逻辑标准，还有美的标准。当一种理论尚未达到美的境界时，就必须继续改进发展，“按照美的规律来制造”。如上一问题，按定义可得：p=MMF1-MF2=2a得方程 =2a，此可作为双曲线方程。但它不符合简单性原则。故方程可化为(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)即=1。我们说，此方程简单多了。但是，双曲线具有对称性，它所表示方程也该有对称性。于是，由于c2-a20，故令c2-a2=b2，即得 =1，此式是如此简洁优美。至此，我们清楚知道，一开始选择“2c”、“2a”正是为了追求简单性，而产生b是人为

10、制造的，但实践证明，b正好是双曲线虚半轴，又具有鲜明几何意义。为何称为标准方程呢？应该说，对于同一个双曲线，建立不同的坐标系就可得到不同方程，其中若不规定一个作为标准的，那人们就没有共同的语言。如此教学，通过深挖教材中数学美之因素，既能阐明问题的本质，又能提高学生的完美能力，增强创造意识。1.4 寓美于教，能激发学生的学习兴趣。我们知道，对数的学习是比较机械的、枯燥的。如在本章学习之前，先提出一个问题，“一张0.01mm厚的纸折叠十次以后，有多厚”学生是可以计算得了。再此，又提出问题，若是折了100次呢？有的学生或许可以算得，估算即为2100层纸厚，为2100=(210)10(103)10=1

11、030即为1030.010.010.01km=1022km，这有1022公里长度。学生都为之惊叹。这一数字，只是估算，学生有趣、好奇，它的新颖奇特在学生的心灵中引起了一种愉快的惊异，趣中孕育着“美感”。进一步为了解决这一繁而惊人的计算，因而追求计算的“简单性”数学美的表现形式之一，导致了对数计算方法的产生。学生带着兴趣、美感、追求，开始学习对数运算。1.5 又如，在学习完黄金数x=W= =0.618，可以引申出，建筑物的窗口，宽与高度的比一般为W；人们的膝盖骨是大腿与小腿的黄金分割点，人的肘关节是手臂的黄金分割点，肚脐是人身高的黄金分割点；当气温为23摄氏度时，人感到最舒服，此时23:37（体

12、温）0.618；名画的主题，大都画在画面的0.618处，弦乐器的声码放在琴弦的0.618处，会使声音更甜美。建筑设计的精巧、人体科学的奥秘、美术作品的高雅风格，音乐作品的优美节奏，交融于数的对称美与和谐美之中。1.6 具有和谐美、对称美的例题，能达到以美启智，提高学生探索问题和解决问题的能力。解析几何是用数研究形的数学分科，形数结合是研究解析几何的基本观点，运动变化是解析几何的主导思想。若能注意点拨这一优美、和谐的知识结构，将可以增强学生的“美的意识力”。1.7 庞卡莱指出：“在解中，在证明中，给我们以美感的东西是什么呢？是各部分的和谐，是它们的对称，是它们的巧妙、平衡”。审美帮助我们进行猜测

13、，为解题指出了方向。事实上，为了满足某些条件，满足某种和谐关系，事物必须是完美的。这反映了数学解题中美与真的统一。追求数学美，是数学发展的深层动力。中学数学中，在数学的和谐美等驱使下，常常能更快取得成果。2.数学中的创新美 面向全体学生实施素质教育，培养创新人才，这是每一位教育工作者面临的一个全新课题。数学教学要标新立异，改变观念，注重能力培养。把创新教育渗透到课堂教学中，精心创设求异情境，把学生引入一个多思、多问、多变的广阔的思维空间，开发智能，提高数学素质。现代高科技和人才的激烈竞争，归根结底就是创造性思维的竞争，而创造性思维的实质就是求新、求异、求变。创新是教与学的灵魂，是实施素质教育的

14、核心；数学教学蕴含着丰富的创新教育素材，数学教师要根据数学的规律和特点，认真研究，积极探索培养和训练学生创造性思维的原则、方法。当前，数学教学改革和发展的总趋势就是发展思维，培养能力。要达到这一要求，教师的教学就必须从要优化学生的思维品质入手，把创新教育渗透到课堂教学中，激发和培养学生的思维品质。2.1 探索问题的非常规解法，培养思维的创造性培养学生的想象力和创造精神是实施创新教育中最为重要的一步。教师要启迪学生创造性地“学”，标新立异，打破常规，克服思维定势的干扰，善于找出新规律，运用新方法。激发学生大胆探讨问题，增强学生思维的灵活性、开拓性和创造性。教学中的切入点很多：例1已知p+q+10

15、,求证:1位于方程x2 + px + q=0 的两根之间.此题若按常规思路,先用求根公式求出方程的两根x1 , x2 ,再求证结论,则将陷入困境,因此另觅新路.证明:设y=x2 + px + q,显然抛物线的开口向上.令x = 1,则y = p + q + 1, 由已知p + q + 10,即点(1, p+q+1)在x轴下方(如图).故原方程有两根x1 , x2 ,且1位于这两根之间.这种解法通常称为“图象法”。 例2解方程： 本题若用常规解法很繁琐，教学时我由浅入深，引导学生从一个基本等式 的正用和逆用入手，点拨学生采用“通分法”与“拆项法”来解。上述基本等式的逆用，训练了学生的逆向思维，又展现了一种重要的数学方法: 拆项法。 当用常规方法不能解决问题时，应教授学生及时改变思路，另选突破口，切忌在原方法上徘徊。否则难以使思维发生质的飞跃，也不利于创造性思维的培养。例3解方程（x - 1）（x + 2）= 70 该题的一般解法是把方程化为标准的一元二次方程求解。除此之外应激发学生去思考有无更巧更妙的解法？诱导学生去发现x+2与x-1的关系：它们的差是3，且x+2x-1，故可把70分解成差为3的两个因数，从而求解。解：原方程化为（x-1）（x+2）=710 =-10（-7） x+2 x1 x+2 =10 或 x+2 =-7 x1 =8，x2 =-9。