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1、1987年全国高中数学联赛试题一试题(10月11日上午800930)一选择题(每个小题选对得5分，不选得1分；选错或选出的代号超过一个者得0分本题满分20分)：1对任意给定的自然数n，若n6+3a为正整数的立方，其中a为正整数，则( ) A这样的a有无穷多个 B这样的a存在，但只有有限个 C这样的a不存在 D以上A、B、C的结论都不正确(上海供题) 2边长为5的菱形，它的一条对角线的长不大于6，另一条不小于6，则这个菱形两条对角线长度之和的最大值是( ) A10 B14 C5 D12(天津供题) 3在平面直角坐标系中纵横坐标均为有理数的点称为有理点，若a为无理数，则过(a，0)的所有直线中(
2、) A有无穷多条直线，其中每条直线上至少存在两个有理点 B恰有n(2n+)条直线，其中每条直线上至少存在两个有理点 C有且仅有一条直线至少通过两个有理点 D每条直线至多通过一个有理点(河南供题) 4如图，ABC的顶点B在单位圆的圆心上，A、C在圆周上，ABC=2(00 B=(x，y)| |xy|+1=|x|+|y|若AB是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则的值为 (青海供题)3若k是大于1的整数，是x2kx+1=0的一个根，对于大于10的任意自然数n，+的个位数字总是7，则k的个位数字是 (河北供题)4现有边长为3，4，5的三角形两个，边长为4，5，的三角形四个，边长为，4，5的三角形六个，
3、用上述三角形为面，可以拼成 个四面体(江西供题)5五对孪生兄妹参加k个组活动，若规定： 孪生兄妹不在同一组；非孪生关系的任意两个人都恰好共同参加过一个组的活动，有一人只参加两个组的活动，则k的最小值为 (命题组供题)1987年全国高中数学联赛二试题一如图，ABC和ADE是两个不全等的等腰直角三角形，现固定ABC，而将ADE绕A点在平面上旋转，试证：不论ADE旋转到什么位置，线段EC上必存在点M，使BMD为等腰直角三角形二在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点称为整点试证：存在一个同心圆的集合，使得 每个整点都在此集合的某个圆周上； 此集合的每个圆周上，有且只有一个整点(辛泽尔定理)三n(n3)名乒
4、乓球选手单打若干场后，任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相同，试证明：总可以从中去掉一名选手，而使在余下的选手中，任意两个选手已赛过的对手仍然都不完全相同1987年全国高中数学联赛解答一试题一选择题(每个小题选对得5分，不选得1分；选错或选出的代号超过一个者得0分本题满分20分)：1对任意给定的自然数n，若n6+3a为正整数的立方，其中a为正整数，则( ) A这样的a有无穷多个 B这样的a存在，但只有有限个 C这样的a不存在 D以上A、B、C的结论都不正确(上海供题) 解：(n2+3k)3=n6+9n4k+27n2k2+27k3=n6+3(3n4+9n2k+9k2)k取a=(3n4+9n2k
5、+9k2)k，(k为任意正整数)，则n6+3a为正整数的立方，由于k可任意取值，且当k增大时，a也随之增大即a有无数个选A2边长为5的菱形，它的一条对角线的长不大于6，另一条不小于6，则这个菱形两条对角线长度之和的最大值是( ) A10 B14 C5 D12(天津供题) 解：设x3，y3，且x2+y2=25满足要求的点构成直角坐标系中一段弧(图中粗线部分)令x+y=k，则当直线经过点(4，3)时取得最大值7即2x+2y14选B3在平面直角坐标系中纵横坐标均为有理数的点称为有理点，若a为无理数，则过(a，0)的所有直线中( ) A有无穷多条直线，其中每条直线上至少存在两个有理点 B恰有n(2n+
6、)条直线，其中每条直线上至少存在两个有理点 C有且仅有一条直线至少通过两个有理点 D每条直线至多通过一个有理点(河南供题) 解：若直线斜率为k，则当k=0时直线经过x轴上所有有理点当k0时，直线方程为y=k(xa)若k为有理数，则当x为有理数时，y为无理数；若k为无理数，若此时直线经过一个有理点A(x1，y1)，对于直线上与A不重合的点B(x2，y2)由y1=k(x1a)，y2=k(x2a)，由于a为无理数，故y10，x2a0，=m，当y2为有理数时，m为有理数，当y2y1时，m1，此时x2=mx1+(1m)a为无理数即此直线上至多有一个有理点选C4如图，ABC的顶点B在单位圆的圆心上，A、C
7、在圆周上，ABC=2(00 B=(x，y)| |xy|+1=|x|+|y|若AB是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则的值为 (青海供题)解：集合A的图形是依次连(，0)，(0，)，(，0)，(0，)四点的线段集合B的图形是直线x=1，x=1，y=1，y=1它们交得一个正八边形若此4条直线为图中的4条实线，则=tan22.5+1= 或此正八边形各边与原点距离相等，知直线x+y=与原点距离=1= 若此4条直线为图中的4条虚线，则=2+2，=2+ =2或2+ 3若k是大于1的整数，是x2kx+1=0的一个根，对于大于10的任意自然数n，+的个位数字总是7，则k的个位数字是 (河北供题)解：另一根=
8、1，+1=k，记+kn(mod 10)，0kn10由+=(+)22得，knkn12+8(mod 10)若k为偶数，则kn为偶数，不等于7若kn11(mod 10)，则kn9，kn+19(mod 10)；若kn13(mod 10)，则kn7，kn+17(mod 10)；若kn15(mod 10)，则kn9，kn+19(mod 10)；故k的个位数字为3，5，74现有边长为3，4，5的三角形两个，边长为4，5，的三角形四个，边长为，4，5的三角形六个，用上述三角形为面，可以拼成 个四面体(江西供题)解：用四个三角形拼成四面体，每种边长至少要在两个三角形中出现因此以上三种三角形如果要用，就用偶数个由
9、于第类边长为3，4，5的三角形与第类边长为4，5，的三角形都是直角三角形，而第类边长为，4，5的三角形为钝角三角形因此，用4个后两种三角形都不能单独拼成四面体(四个面全等的四面体是等腰四面体，其各面都是锐角三角形)情况：4个三角形中有两个类三角形，如图，取两个类三角形，BC=，则斜边BC上的高AE=DF=h=且BE=CF=x=，则EF=2=于是AD2=AE2+EF2+FD22AEDFcos=(881810cos)(，41) (*)若再取两个类三角形时，由于AD=3，满足(*)式，故可以构成四面体若再取两个类三角形时，由于AD=，不满足(*)式，故不可以构成四面体情况：两个类，两个类此时取BC=
10、5，AB=CD=3，于是斜边BC上的高AE=DF=h=且BE=CF=x=，则EF=52=于是AD2=AE2+EF2+FD22AEDFcos= (337288cos)(，25)由于AD=，不满足(*)式，故不可以构成四面体 只能构成1个四面体5五对孪生兄妹参加k个组活动，若规定： 孪生兄妹不在同一组；非孪生关系的任意两个人都恰好共同参加过一个组的活动，有一人只参加两个组的活动，则k的最小值为 (命题组供题)解：设此10人为A，a；B，b；C，c；D，d；E，eA只参加2组，故除a外其余8人应分成2组，每组人数都不超过4人（否则有孪生兄妹同组)记第一组为B，C，D，E，第二组为b，c，d，e于是其余8人中大写字母不再同组，小写字母也不再同组即除a外其余组中人数不超过2人每人都再参加3组，故至少还要34=12组a可参加其中4组即至少要14组又a，B，c，B，d，B，e，a，C，b，C，d，C，e，D，b，D，c，
