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1、一：假设某保单的损失服从指数分布，概率密度函数为其中，为未知参数，如果该保单过去各年的损失观测值为，求参数的极大似然估解：利用极大似然估计的方法，可以得到二：假设某保险业务的累积损失S服从复合泊松分布，泊松参数为20，而每次损失的金额服从均值为100的指数分布，用正态近似求累积损失的99%的分位数。解：分位数=加二、某保单规定的免赔额为20，该保单的损失服从参数为0.2的指数分布，求该保险人对该保险保单的期望赔款。解：令为保险人的赔款随机变量三、假设某公司承保的所有汽车每年发生交通事故的次数都服从泊松分布，而不同汽车的泊松分布参数不同，假设只取两个值（1或2），进一步假设的先验分布为，如果汽车
2、一年内发生4次事故，求该汽车索赔频率的后验分布。解： +=1.7969四：假设某险种的损失次数服从参数为0.2的泊松分布，对于一次保险事故，损失为5000元的概率是80%，损失为10000元的概率是20%，请计算保险公司的累积损失的分布解：为简化计算，假设一个货币单位为5000元，解： ，依次类推得其他计算结果如下表x00.8187310.81873110.1309970.94972820.0432290.99295730.0057990.99875640.0010970.99985350.0001280.99998160.0000180.999999五：假设某保险人签发了两份保单A和B，每份
3、保单可能发生的损失额及相应的概率如下表：AB损失额概率损失额概率00.60000.72000.20.30.0600.100.04求累积损失概率。解：保险公司的累积损失及概率损失概率A的损失B的损失A+B的损失六：假设保险业务在一年内是均匀分布，保险期限为1年，各日历年的已赚保费如下，为200千元，为250千元，为300千元，最近几次的费率调整如下表，费率调整日期调整幅度1998年7月1日10%1999年7月1日8%7月1日10%请计算以该表最新的费率水平表示的-的已赚保费。解：如果把1998年生效的相对费率看做是1，则1999年生效的相对费率为1.08,生效的相对费率为，的相对费率为，的相对费
4、率为1.08*12.5%+1.1772*12.5%=1.09215,的相对费率为1.08*12.5%+1.1772*87.5%=1.16505，将所有年费的已赚保费调整到的水平，可得等水平已赚保费为3100*1.1772/1.07+3200*1.1772/1.09215+3500*1.1772/1.16505=10396.28八：某险种当年的相对费率和保费收入、过去三年的等水平已赚保费和经验损失数据如下表所示，假设A为基础类别，经验数据的可信度为40%，如果整体保费需要上调15%，请计算调整后的相对费率。经验损失数据风险类别当年的相对费率当年的保费收入过去三年的等水平已赚保费过去三年的经验损失
5、A16000160004800B1.26500150003500C1.35500150003200解：有实际赔付经验可知查表可知因此完全可信性所需的索赔次数不能小于又由于每份保单的索赔频率为0.03，所以发生445次索赔所需要的保单数为445/0.03=14848十、假设某险种的保险期限为1年，新费率的生效日期是7月1日，目标赔付率为60%，如果每年按5%的速度增长，请根据下表计算费率的调整幅度。 经验费率保单年度根据当前费率计算的保费最终赔款权重10000.330000.7解：签发的保单，其赔款平均在1月1日支出。7月1日签发的保单，其赔款平均在7月1日支出。因此把的保单年度的最终赔款调整到
6、7月1日得水平即为，同样把保单年度的最终赔款调整到7月1日的水平即为保单年度根据当前费率计算的保费最终赔款权重经趋势调整后的最终赔款经验赔付率10000.31129.730.564930000.72151.860.7173平均经验赔付率=0.5649*0.3+0.7173*0.7=0.6716费率上调幅度=0.6716/0.6=12%十一：已知两个风险A和B的损失金额服从下述分布，其中风险A发生损失的概率是风险B的两倍，如果已知某个风险在某次事故的损失额为300元，求该风险下次损失额的BL估计。损失额风险A的概率分布风险B的概率分布3000.50.630000.30.3700000.20.1解
7、： 信度估计值为十二、已知有四个风险等级的被保险人，每人可能发生的损失为2或者4，其分布如下表所示，随机选定某一风险等级，并且从中选取四个被保险人，总的损失为4，如果从同一风险等级中再抽取一个被保险人，请用bl-s信度模型估计这5个被保险人的总损失。解：类别概率均值方差一类2.20.36二类2.60.84三类31四类3.60.64 十三、假设不同被保险人的索赔频率相互独立，每个被保险人在每月的索赔次数服从泊松分布，不同被保险人的泊松参数互不相同，泊松参数服从伽马分布，其密度函数为，假设保险人在过去4个月份的经验数据如下表所示，请应用bl-s模型估计保险人在下个月的索赔次数。十四十六：已知 10
8、0个人投保，这些投保的个体有相互独立的索赔，索赔的均值和方差按照性别分别如下表：均值方差男性24女性210设S为总的索赔量，总的保险费按照收取，这100个成员中，男女性别个数未知，设男性有N个人，N服从二项分布，。求总保费为多少？解：设X表示男性索赔，Y表示女性索赔，N表示男性个数，则总索赔为男、女之和，即 则 =320 D(S)= 所以总保费为=378.5十七、设，计算总索赔S的分布的概率。一：一般解法： 经计算为X0100000.135310.10000.0270720.20.01000.0568330.30.040.0100.0922240.40.10.060.0010.13688N01
9、2340.13530.27070.27070.18040.451方法二：其中，服从参数为的泊松分布，列成下表进行计算X00.81870.67030.54880.44930.135310.163750000.0270720.0163750.2681000.0568330.0010900.329300.0922240.0000550.053600.35930.136880.20.40.60.8十八：由100000张同类医疗保单的组合，设被保险人的损失是相互独立的，保单规定保险人只赔付被保险人所发生损失的80%，设在保险期间内可能发生的损失都服从分布X0502005001000100000.30.1
10、0.10.20.20.1若要求所收取的保费总额低于理赔总额的概率不超过5%，试确定安全附加保费解：设损失变量为，则理赔变量为，又设安全附加费为，则保费总额为则根据题意有所以安全附加保费为1.645*=1213193.9十九：一个保险公司为投保人提供三种保险，其特征见下表：种类人数索赔概率个体赔付期望15000.055210000.11035000.155已知对于每一个投保人，在索赔发生的条件下，个体索赔量得期望与方差相等，且保险供给将收取纯保费的倍为保费，求相对附加保费使得成立。解：设代表第i类得个体索赔变量，为0-1变量，表示第i类索赔发生，表示第i类索赔不发生，代表在索赔发生的条件下，索赔
11、的大小。则根据个体索赔量得定义，且，为索赔概率。则其中，且根据已知成立所以=12687.5查表的到：所以二十：某保险公司规定赔款最高限额是3000元时，超过部分由投保人自己支付，随机变量X即一笔赔款的分布函数是，而遵从于试计算对一笔赔款应由保险人支付平均额度。解：赔款额的概率密度是因此根据赔偿限额的规定，我们得到二十一：假设汽车保险的损失分布是参数的帕累托分布： 求免赔额为20时的赔偿期望值为多少？解：则赔款的期望值为二十二：假设某汽车保险的损失分布是参数的帕累托分布： 求免赔额为200时的赔偿期望值为多少？解：二十三：已知累积已付赔款的进展量，现在去求各个进展年的最终赔款。事故年进展年012
12、345102423503264412245164939146931904520518556761421296042785718124827684113154031522405解：将各进展年的因子相邻相除，得到相邻进展因子累积已付赔款的进展因子事故年进展年012342.29491.38891.26291.09561.09372.17151.41691.14711.09472.0831.44531.33662.21791.48592.0468加权平均值2.15161.43551.24561.09511.0937选定值2.151.441.251.11.1用的是简单算术平均值进行计算的。最终预测出各年的赔款的进展为事故年进展年01234510242350326441224516493914693190452051855676624414212960427857186290124827684113514115403152453924055171
