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1、三角形 讲义一、 基础知识（一）与三角形有关的线段1三角形： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相连所组成的图形叫做三角形。2三角形的边：组成三角形的三条线段是三角形的边。3三角形的角：在三角形中，相邻两边组成的角叫三角形的内角，简称三角形的角。 4三角形两边之和大于第三边；三角形两边之差小于第三边。 5三角形的高、中线、角平分线的定义及性质。6三角形具有稳定性。（二）与三角形有关的角1三角形的内角和等于（180）2三角形的外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和。 （2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。3三角形的外角和（360）。4.直角三角形的两个锐角互余
2、。（三）多边形及其内角和1多边形 ：一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次相连所组成的平面图形称为n边形，又叫多边形。2正多边形：像正方形这样，各个角都相等，各条边也向等的多边形叫正多边形。3多边形的对角线：在多边形中，连接两个不相邻角顶点的线段叫多边形的对角线，每个多边形有 条对角线。4多边形的内角和：n边形的内角和等于（n-2）180）5四边形内角的特殊性：如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补。6多边形的外角和：从多边形每个内角相邻的两个外角中，分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和。 任意多边形的外角和等于 （360）。（四）三角形的分类按角分类：锐角三角形、直角三角形
3、、钝角三角形；按边分类：不等边三角形、等腰三角形 （包含底边和腰不相等的等腰三角形、等边三角形）（五）镶嵌1、平面镶嵌：从数学角度看，用不重叠在一起的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面或平面镶嵌。 2、用相同的正多边形镶嵌（1） 围绕一点镶嵌在一起的n个多边形的内角恰好是一个周角，则这种正多边形可以做平面镶嵌。（2） 用相同的正多边形镶嵌，只有正三角形、正方形、正六边形可以，其他正多边形都不可以。3、利用多种正多边形进行镶嵌用两种不同的正多边形镶嵌：（1）3个正三角形和2个正方形 （2）2个正三角形和2个正六边形用三种不同的正多边形镶嵌：正三角形、正八边形和正二十四边形就可以进
4、行镶嵌。 （二）经典例题例1：已知三条线段的比是:1:3:4;1:2:3;1:4:6;3:3:6;6:6:10;3:4:5.其中可构成三角形的有( )毛A.1个 B.2个 C.3个 C.4个考点透视本例主要是考查三角形的三边关系：三角形的任意两边和大于第三边，任意两边的差小于第三边参考答案B例2：如果三角形的两边长分别为3和5,则周长L的取值范围是( ) A.6L15 B.6L16 C.11L13 D.10L（BD+CD）15已知三角形三边的长均为整数，其中某两条边长之差为5，若此三角形周长为奇数，则第三边长的最小值为多少？16已知：P为ABC内任意一点求证：PAPBPC (ABBCCA)17
5、（综合题）已知a、b、c为ABC的三边长，b、c满足（b-2）2+c-3=0，且a为方程x-4=2的解，求ABC的周长，判断ABC的形状答 案1解：图中共有8个三角形，分别是：BCA、BCD、BCE、BCO、BOD、COE、BEA、CDA 点拨：数三角形的个数，一定要按一定的次序去数如按图形的形成过程数，按三角形的大小顺序数等，切忌盲目，造成重复和遗漏2B 点拨：说法（1）、（4）正确，故选B3. B 4. C5B 6C7C 点拨：由题设知，等腰三角形的三边长可能为3，3，6或6，6，3但3+3=6，说明以3，3，6为边长构不成三角形这个等腰三角形的周长为15，故选C8. C9. D10.C1
6、11cmx7cm；3cm，5cm；2；2cm，4cm，6cm；3点拨：（4-3）cmx（4+3）cm，1cmxBD，因AB=AC，故AC+AC-CDBD，即2ACBD+CD从而可知AC（BD+CD）15解：设第三条边长为c，其余两条边长分别为a和b，且ab，则有a+b+c为奇数，a-b=5，所以2b+5+c为奇数，故c为偶数又a-b5，c的最小值为616.证明：PAPBAB，PBPCBC，PCPAAC，2(PAPBPC)ABBCCA，PAPBPC (ABBCCA)17. 解：（b-2）20，c-30，且（b-2）2+c-3=0， b-2=0，c-3=0 即b=2，c=3 a为方程x-4=2的解
7、， a=2或6 经检验，当a=6时，不满足三角形三边关系定理，故舍去 a=2，b=2，c=3 ABC的周长为7，ABC为等腰三角形三角形的高、中线与角平分线过关训练一、填空题1如下图，AD是ABC的角平分线，则_=_=_；E在AC上，且AE=CE，则BE是ABC的_；CF是ABC的高，则_=_=90，CF_AB。2如下图，ABC中，BC边上的高是_；在ACD中，DC边上的高是_，在EBC中，BC边上的高是_，以CF为高的三角形是_。3如图10，BD是ABC的中线，AB=6cm，BC=4cm，则ABD和BCD的周长差为_cm。4如图11，已知1=BAC，2=3，则BAC的角平分线为_，ABC的角
8、平分线为_。二、选择题5下列说法中正确的是 （ ）（1）平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线（2）三角形的中线、高和角平分线都是线段（3）一个三角形有三条高、三条角平分线和三条中线（4）三角形的中线是经过顶点和对边中线的直线A（1）（2）（3）（4）B（2）（3）（4）C（1）（4）D（2）（3）6如图12，ABC90，ADBC，交BC的延长线于D，BEAC，交AC的延长线于E，CFAB于点F，ABC中BC边上的高为（ ）AFCBBECADDAE7至少有两条高在三角形的内部的三角形是（ ）A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D以上都有可能 三、解答题8如图13，AD是锐角ABC的高，AE是其中线，指出图中共有几个三个角形。若按角分类没，分别是什么三角形？9等腰三角形中，一腰上的中线把三角形的周长分为6cm和15cm的两部分，求此三角形的底边的长。10如下图所示，在ABC中，BD是AC边上的中线，AB=6cm，BC=5cm ，求ABD的周长与DBC的周长差。四、拓展创新11如图15，已知AD是ABC的高，AE是角平分线，AF是中线，写出图中相等的角和相等的线段。五、中考热身12（2005长沙）请在作出ABC的角平分线BD（要求保留作图痕迹）。答 案1BAD， CAD， BAC，中线，CFA， CFB ， 2AD AD EB ABC ACF BCF324AD BE
