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1、精品文档高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例 1 求过两点A(1 , 4)、B(3 , 2)且圆心在直线y0 上的圆的标准方程并判断点P(2 , 4)与圆的关系分析：欲求圆的标准方程， 需求出圆心坐标的圆的半径的大小， 而要判断点 P 与圆的位置关系，只须看点 P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系， 若距离大于半径， 则点在圆外； 若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为(xa)2( yb) 2r 2 圆心在y0上，故 b0 圆的方程为 ( xa)2y 2r 2又该圆过A(1, 4) 、 B(3 , 2) 两点(1a) 216r 2(3
2、a) 24r 2解之得： a1， r 220 所以所求圆的方程为( x1)2y220 解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过 A(1 , 4)、 B(3 , 2) 两点，所以圆心C 必在线段 AB 的垂直平分线l 上，又因为421 ，故 l 的斜率为1，又 AB 的中点为 (2 , 3) ，故 AB 的垂直平分线l 的方程为：kAB31y 3 x2 即 xy1 0 又知圆心在直线y0 上，故圆心坐标为C ( 1 , 0)半径 r AC(11)24220 故所求圆的方程为(x1)2y 220 又点 P(2, 4)到圆心 C( 1,0) 的距离为dPC(21)24225r 点 P 在圆外说明：
3、 本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？精品文档精品文档例2求半径为 ，与圆x2y24x2y40相切，且和直线y0相切的圆的方程4分析： 根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解解：则题意，设所求圆的方程为圆C：(xa) 2( y b) 2r 2圆 C 与直线 y0相切，且半径为4，则圆心 C 的坐标为 C1( a , 4) 或 C 2 (a ,4) 又已知圆 x2y24 x2 y40的圆心 A 的坐标为 (2 ,1) ，半径为 3若两圆相切，则C
4、A437 或CA431(1) 当 C1(a , 4) 时 ， (a2)2(41)272， 或 (a2)2(41) 212(无解)，故可得a2 210所求圆方程为( x2210 )2( y4)242 ，或 (x 22 10)2( y4) 242 (2) 当 C 2 ( a ,4)时 ， (a2)2(41)272 ， 或 (a2) 2( 41) 212 (无解)，故a226所求圆的方程为(x226 ) 2( y4) 242 ，或 ( x226) 2( y4) 242 说明： 对本题，易发生以下误解：由 题 意 ， 所 求 圆 与 直 线 y0 相 切 且 半 径 为4 ， 则 圆 心 坐 标 为
5、C ( a , 4) ， 且 方 程 形 如( x a) 2( y 4)242 又圆 x2y24 x2 y 40，即(x2)2( y1)232 ，其圆心为A(2 ,1) ，半径为3若两圆相切， 则 CA43 故 (a2) 2(41)272 ，解之得 a2 2 10所以欲求圆的方程为( x2 210)2( y4)242 ，或 (x22 10)2( y4)242 上述误解只考虑了圆心在直线y0 上方的情形，而疏漏了圆心在直线y0下方的情形另外，误解中没有考虑两圆内切的情况也是不全面的例 3 求经过点A( 0 , 5) ，且与直线x2 y0 和 2xy0 都相切的圆的方程分析：欲确定圆的方程 需确定
6、圆心坐标与半径， 由于所求圆过定点 A ，故只需确定圆心坐标 又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上解： 圆和直线x2y0与 2xy0 相切，圆心 C 在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线x2y0 和 2xy0 的距离相等精品文档精品文档x2 yx2 y55两直线交角的平分线方程是x3y0 或 3xy0 又圆过点A(0 , 5) ，圆心 C 只能在直线3xy 0 上设圆心 C (t , 3t ) C 到直线 2xy0 的距离等于AC ，2t 3tt 2(3t5)2 5化简整理得 t 26t50 解得： t 1或 t5圆心是 (1 , 3) ，半径为5 或圆心是 (5 ,15
7、) ，半径为 55 所求圆的方程为(x1)2( y 3)25 或 ( x 5) 2( y15)2125 说明： 本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法例 4、 设圆满足：(1)截 y 轴所得弦长为2； (2) 被 x 轴分成两段弧，其弧长的比为3 :1 ，在满足条件(1)(2) 的所有圆中，求圆心到直线l： x2 y0 的距离最小的圆的方程分析： 要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点
8、到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程解法一： 设圆心为 P(a , b) ，半径为 r 则 P 到 x 轴、 y 轴的距离分别为b 和 a 由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为90 ，故圆截 x 轴所得弦长为2r r 22b2又圆截 y 轴所得弦长为2 r 2a 21精品文档精品文档又 P(a , b) 到直线 x2y0 的距离为a2bd5 5d 2a22ba 24b24aba24b22(a2b2 )2b 2a21当且仅当 ab 时取“5=”号，此时 dmin5这时有ab2b2a21a1a1或b1b1又 r 22b22故所求圆的方程为(x1)2( y 1)22 或 ( x1)2( y 1)22解法二： 同解法一，得a2bd5 a 2b5d a24b24 5bd5d 2 将 a22b21代入上式得：2b24 5bd5d 21 0 上述方程有实根，故8(5d 21)0 ， d55精品文档精品文档将 d5b代入方程得51又 2b2a 2 1 a 1 由a2b 1b同号知 a 、故所求圆的方程为(x1)2( y 1)22 或 ( x 1)2( y 1)22 说明： 本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？类型二：切线方程、切
